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【摘 要】以Black-Scholes模型为开端,现代期权定价理论已经拥有了近40年的历史.随着现代金融市场的发展,市场上创造了很多更为复杂的期权产品,而且随着股票、债券、外汇和期货市场的发展,以其为标的资产的期权产品也在收益率和价格上发生了变化.本文根据不同期权产品的基本特征,分析并研究目前存在的定价理论方法以及存在的问题.
【关 键 词】期权定价模型布朗运动维纳过程B&S模型
一、引言
期权是一种金融衍生工具,期权最主要的特征是赋予期权的购买者一种交易或者操作的权利,在满足一定条件或者发生某种具体事件时,期权的买方通过执行权力可以转移风险或者获利.
期权不仅包括以金融资产为标的资产并在公开市场交易的期权,也包括以实物资产为标的物的实物期权和以期权为标的资产的复合期权.但是,实物期权是一种不可交易的、依附于实体投资的选择权,分析投资决策过程中的重要因素,会显著地影响实物投资未来收益状况.
在分析期权定价问题之前,首先需要认识目前存在的期权产品,因为不同性质的期权拥有不同的价格分布、风险特征、波动率交易规则和偏差率等问题.由于不同的期权行权条件、到期标的资产价格计算方式、期权标的资产种类以及权利性质是不同的,因此,在期权定价问题上,目前的学者都是根据具体期权的性质和特征,并寻找可以复制或者描述该具体期权价格分布、波动性或者收益率变动的数学模型或者资产组合,最后通过合成投资组合或者数学模型加以计算期权的价格和价格变化轨迹.
二、Black-Scholes模型
1973年布莱克和斯科尔斯推导出以无股利支付的股票为标的资产的欧式期权的定价模型.该模型假设：（1）期权为欧式期权；（2）期权的标的资产的收益率服从对数正态分布；（3）在期权有效期内,标的资产不支付股利；（4）市场是无摩擦的,不存在交易费用、税收、无风险套利机会；（5）无风险收益率和标的资产收益率的变量是恒定的；（6）市场交易是连续的,不存在间断性和跳跃性特征；（7）标的资产波动率为恒定值；（8）标的资产价格服从几何布朗运动规律,即：,其中St表示股票的在t时间的价格,σ和μ分别表示股票的波动率和预期收益率,W表示标准布朗运动.
B&S模型的基本思路是：影响标的资产价格的各种不确定因素也会对以该资产为标的资产的期权产生影响,在标的资产和期权都服从维纳过程（布朗运动）的条件下,通过建立期权和标的资产的适当头寸的投资组合,用以抵消连续时间随机运动过程,则投资组合实现不存在无风险套利机会和零风险,收益率等于无风险收益率.
S表示标的资产价格,是欧式买入期权在t时期的价值,T是欧式买入期权的到期日,X是欧式买入期权的执行价格,r是无风险利率,σ2是标的资产收益率的波动率的方差.对微分方程
B&S模型是现代金融期权定价模型的基础,之后所提出的期权模型有些是根据对B&S模型假设的修改,从新推导新的期权定价模型,或者是根据具体期权的性质从新的思路和方法中分析具体期权的定价问题.
三、跳—扩散模型
较早的期权定价模型一般都假设标的资产的价格服从布朗运动的特征,价格的波动是一种连续、独立并且随机的过程.但是,根据股票、债券甚至期货等金融资产的历史价格分析和指数分析已经证明布朗运动的假设条件是不成立的.金融资产的价格有时会受到重大事件的影响,价格呈现不连续地波动的特征.再者,布朗运动的假设下,各个金融资产呈现独立波动的特征,但是历史已经显示出金融资产之间价格波动会呈现出相关性特征,甚至有些金融产品拥有自相关的特点,从而导致标准布朗运动假设无法成立.不仅如此,随着更多的金融衍生品被创造并在公开市场中交易,标的资产的多样化、交易规则的复杂化、价格的难以确定,造成B&S模型所提出的假设条件大多无法实现,导致B&S模型的实用性降低.
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跳—扩散模型以B&S模型提出的偏微分方程为基础,通过引入导致标的资产价格呈现不连续波动的因素,表示标的资产的价格会受到突发事件的影响而导致价格变化呈现出跳跃性特征,引入了非系统性风险和系统性风险因素.在建立模型时,同时考虑标的资产的价格会围绕期望收益率在一定方差范围内连续波动,但是也会由于受到一些时间不确定的重大事件的影响,价格出现“跳水”问题.由于需要考虑导致价格“跳跃”的特殊事件,所以在建立表达标的资产价格波动的偏微分方程时,要引入具体特殊事件.
跳—扩散模型假设引起股票价格出现非连续波动的事件只有一类而且价格跳跃的风险为非系统性风险,多数学者利用泊松分布表达突发事件产生的概率,引入标准正态分布显示价格跳跃的相对高度.跳——扩散模型的偏微分方程表达式为：
其中为标的资产价格；表示标的资产的收益率；表示标的资产收益率在没有发生跳跃时的波动率；表示几何布朗运动；是标的资产价格在一段时间内的随机跳跃次数,服从参数为的泊松分布,表达价格受到突发事件影响而产生跳跃；为当标的资产价格发生跳跃时的相对高度；是服从正态分布的随机变量.
根据无套利原则建立欧式买入期权和标的金融资产的投资组合,从而使投资组合实现零风险.跳——扩散模型的微分方程表达式为：
在利用跳—扩散模型计算美式期权时,由于美式期权提前执行的交易规则,通过解析法计算美式期权的价格显示解难以实现.邓国和（2009）提出结合指数分布,建立CIR随机波动率与跳—扩散模型的积分分解公式,寻找期权执行的满足非线性方程的有效边界,将具体的美式期权分解为相应欧式期权和提前执行溢价的和,求解最佳实施边界,从而使跳—扩散模型在美式期权定价方面可以使用.
四、云模型
实物期权最初由StewartMyers（1977）提出,定义为包括在一项投资内的具体的投资或者管理的选择权.拥有实物期权的表现在于,在有效期内,实物期权的买方可以根据投资状况和市场变化,灵活地改变投资决策和管理方法,从而实现投资收益的最大化目标.实物期权与金融期权有着明显的不同,实物期权的标的物是一项投资计划或者实物资产,标的资产的价格有可能无法估算,期权的执行价格是整个投资计划或者实物资产的总成本,实物期权由于没有契约所以也无法在公开市场交易.由于实物期权的不可交易性,并且根据无套利原则进行“复制”十分困难.因此,需要对实物期权进行进一步的数学处理,以满足使用B&S模型等期权定价模型的条件.我国学者于少伟（2010）提出使用云模型计算实物期权价格.云在数学上的定义是：是一个论域,L是同U
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