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Nt-1t],因此年轻人以及选择进行自主性劳动供给的老年人处在充分就业状态,劳动力市场出清.由于每一期的期末,当期资本完全折旧,所以下一期的资本就等于当期的新增资本积累.t期的资本积累有两个来源：一是当期年轻人的私人储蓄[Stt],二是当期年轻人缴纳的个人账户养老保险费[τWt].所以t+1期社会资本存量为[Kt+1等于NttStt+τWt],则t+1期劳动人口人均资本存量为：
[kt+1等于Kt+1Lt+1等于Stt+τWt1+b+Z]（9）
5.产品市场出清.每一期生产的产品,要么被消费掉,要么被储蓄起来,即：
[AKαtL1-αt等于NttCtt+TNt-1tCt-1t+NttStt+NttFtt]（10）
6.模型均衡解.整个经济体的一般均衡要求个人最大化其一生的效用,企业最大化利润,产品市场和要素市场出清.即均衡时,要求个人的资源配置[Ctt,Ct+1t,Stt∞t等于1]、企业资源配置[Kt,Lt∞t等于1]以及要素市场价格[Rt,Wt∞t等于1]使得以下条件成立：（1）[Ctt],[Ct+1t],[Stt]在预算约束下最大化个人效用；（2）[Kt],[Lt]最大化企业利润；（3）要素市场与产品市场出清；（4）社会统筹账户预算平衡；（5）初始资本[k1>0].
联立方程组（2）至（10）,整理可得由差分方程描述的均衡条件：
[Bkt+1等于ktα]（11）
其中[B等于1+ρθ+θb+ZTαA1-θT2+1+ρ+T1+b+ZA1-θ1-αT]
（显然[B>0]）
易证方程（11）存在唯一稳定的稳态均衡解,即从任意大于零的初始资本存量[k1]开始,经过足够多期,k都将收敛于稳态点[k*],其中：
[k*等于B1α-1]（12）
得到稳态的劳动人口人均资本存量之后,易求得稳态时其他内生变量的值.
（二）老年人退休后劳动供给随时间变化影响的比较静态分析
1.老年人退休后劳动供给对于要素市场的影响.
[k*Z等于1α-1B2-αα-1D<0]（13）
[R*Z等于αα-1Ak*α-2k*Z>0]（14）
[W*Z等于α1-αAk*α-1k*Z<0]（15）
其中,[D等于1+ραAT1-θ+1+ρ+TAT1-θ1-α>0].
由（13）式可以看出,老年人退休后劳动供给时间的延长会降低社会劳动人口人均资本存量[k*],这主要有两方面的原因：一是老年人延长退休后劳动供给时间会增加经济体的劳动总供给,从而在社会总资本存量不变的情况下降低人均资本存量[k*]；二是老年人增加退休后劳动供给导致社会劳动总供给增加,会使得劳动的价格趋于降低,劳动相对于资本变得更加便宜（这一点从[R*Z>0]和[W*Z<0]可以得到印证）,因此企业愿意用一部分的劳动替换资本,社会总资本存量也会下降.
老年人退休后劳动供给行为改变了要素市场的价格和供求关系,使得工资率下降,利率（资本的回报率）上升,这是其对于经济体最重要的影响,由此导致了各经济变量的连锁反应.
2.老年人退休后劳动供给对于人均产出的影响.
[fk*Z等于Aαk*α-1k*Z<0]（16）
由（16）式的计算可以看出,劳动人口人均产出随着老年人退休后劳动供给的增加而降低,这主要是因为在技术进步率为正且不变的情况下,劳动人口人均产出[fk*]是劳动人口人均资本存量[k*]的增函数,[k*]随着[Z]的增加而降低,所以[fk*]也随着[Z]的增加而降低.从经济学的角度说,在技术一定的情况下,劳动人均资本存量降低,劳动人均产出自然降低.
现在考虑全部人口的人均产出.定义t期的全部人口人均产出[fkt]如（17）式所示：[fkt等于FKt,LtNtt+TNt-1t等于Aktα1+b+Z1+b+T]（17）
[fk*Z等于Aα1+b+Z1+b+Tk*α-1k*Z+Ak*α11+b+T]（18）
由（18）式可知,老年人退休后劳动供给对于全部人口人均产出的影响不确定.全部人口人均产出由两部分构成：一是劳动人口人均产出；二是劳动人口占全部人口之比（为了叙述方便,本文将这一比例定义为全民劳动参与率）.老年人退休后劳动供给的增加,一方面降低了劳动人口人均产出,另一方面却又提高了全民劳动参与率.因此,两方面的共同作用导致了老年人退休后劳动供给对于全部人口人均产出的影响是不确定的.
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3.老年人退休后劳动供给增加对于养老金账户的影响.
[P*Z等于1+bTW*Z<0]（19）
[F*Z等于τW*Z<0]（20）
由（19）式和（20）式可以看出,老年人退休后劳动供给时间的延长会导致社会统筹账户养老金的支付水平和个人账户养老金的积累水平双双下降.其中的原因就是由于老年人退休后劳动供给的增加导致工资率下降,年轻一代人的工资收入降低了.由于统筹账户和个人账户的缴费率不变,两个账户的缴费额都下降.
[P*]的降低意味着老年人获得的统筹账户养老金支付减少了,而个人账户的养老金支付则要复杂一些.老年人获得的个人账户养老金支付等于[F*R*],[F*]随着[Z]的增大而减小,而[R*]随着[Z]的增大而增大,可以求出：
[F*R*Z等于α1-α2α-1τA2k*2k*Z]（21）
[F*R*]随[Z]的变化关系由[α]的大小决定：如果[0<α<0.5],则个人账户养老金支付随着[Z]的增大而增大；如果[0.5<α<1],则个人账户养老金支付随着[Z]的增大而减小；如果[α=0.5],则个人账户养老金支付不随[Z]的变化而变化.
综合老年人退休后劳动供给增加对经济体中多个变量的比较静态分析可知：第一,老年人退休后劳动供给增加改变了要素市场的供求关系,导致工资率下降、资本回报率上升,并导致劳动人口人均资本存量下降；第二,老年人劳动供给增加导致劳动人口人均产出降低,但是对于全部人口人均产出的影响不确定；第三,老年人退休后劳动供给增加会使得社会统筹账户和个人账户的缴费减少,社会统筹账户养老金支付下降,但是个人账户养老金支付变化不确定.
本文接下来进行数值模拟分析,探究老年人退休后劳动供给对于经济系统的影响.
三、数值模拟分析
参数校准参数选取过程中,物质资本贡献率、技术进步率、时间偏好、休闲偏好综合参考以前学者的测算,人口增长率和预期寿命根据第六次人口普查数据和联合国经济与社会事务部的预测数据确定,养老金缴费率则为制度参数.
关于物质资本贡献率的估计,不同文献中的差异并不大,大部分学者测得物质资本贡献率在0.5―0.7之间（曹吉云,2007；林忠晶、龚六堂,2007；周和林,2002；杨,2003）.综合以上参考文献的结果,本文选取物质资本贡献率[α等于0.60].
关于技术进步率,李宾、曾志雄认为我国加入WTO以后全要素生产率增长率平稳了很多,而且大多高于2.5%的水平.曹吉云认为,2001年以后我国每年的技术进步率维持在略高于2%的较高水平.本文选定每年的全要素生产率增长率为2.5%,而模型中每一期的长度为35年,因而[A等于2.37].
关于时间偏好,不同文献中描述方式不同.有的使用
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