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【关 键 词】小题小做小题不做

小题大做

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）10B-

0089-02

无论生活、还是学习中,只要留心,总是会有很多细节让人受益匪浅.下面我介绍的这道题目,来自厦门市2013届高三上期末质量检查（数学文）试卷.

7?郾函数y等于,x∈（-π,0）∪（0,π）的图象是（）

这是一位学习很勤奋的学生拿来向我请教的.在为她讲解时,我首先从选择题的特点入手,指导她如何准确快速地找出正确选项,提出“小题小做”的方法；接着,希望她能够通过自己的努力,达到“小题不做”的境界.这两种层次的讲解,她都能够很快理解.但这两种方法都欠缺严谨性,只适用于选择题.在继续探讨的过程中,我发现这道小题目蕴藏着更大的价值.

一、小题小做

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此题作为选择题出现,从应试技巧来说,应考虑如何用最快的速度得到正确答案.很显然,特殊值是解答选择题的一大利器.

如利用最常见的特殊值±1,从f（±1）等于sin1∈,,排除答案B和C,再从题目特点出发,选择两个特殊值、,从其分子的值保持不变,而分母的值增大这个特点马上可知,函数y等于在（0,π）上单调递减的性质,从而确定答案A正确.如果思维再放开一点,利用该函数实际在x等于π有意义这点,从而摆脱原函数定义域的范围限制,通过计算f（π）等于0,可以更快地确定答案.

二、小题不做

首先要说明的是,这里所指的不做,指的是不一定非得拿起笔来进行推演,而是只需要把题目和与其相关的知识点联系起来,只在脑中思考而迅速解决问题.这道题,从四个选项的图形的特点来看,很显然是两种对称方式：关于原点对称或关于y轴对称,分别对应奇函数和偶函数的图象特征.而从函数的解析式来看,不论是从奇偶函数的定义出发,还是奇、偶函数的运算性质来看,都很容易得到此函数为偶函数,从而确定答案为选项A、D中的一个.再观察A、D这两个选项的特点,从区间（0,π）来看,单调性特点很明确：A图象单调递减,B图象单调递增.而原函数的分子对应的函数在区间0,和,π上单调性上截然不同,特别是在,π单调递减；而分母对应的函数y等于x在（0,π）单调递增,可知原函数y等于在（0,π）应该单调递减.如果能够考虑到这一点,则不用动笔就能确定答案为A.

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三、小题大做

此题如果作为一道选择题,以上两种做法貌似相当完美,但是如果从数学学科的特点出发,我们总是会忍不住思考,该如何完整地证明其单调性呢?至少也应该证明f（x）等于在区间（0,π）上的单调性.对高中生来说,只有两条途径：一是利用函数单调性的定义,二是利用导数这一利器.很显然,利用函数单调性的定义证明其在（0,π）上的单调性,并非很好的选择.下面从导数出发加以证明：

证明：∵f（x）等于,x∈（0,π）

∴f'（x）等于,x∈（0,π）

令g（x）等于xcosx-sinx,x∈（0,π）

则g'（x）等于（xcosx-sinx）'等于-xsinx,x∈（0,π）

显然,x∈（0,π）时,总有g'（x）<0成立.

所以,g（x）等于xcosx-sinx在（0,π）单调递减.

有g（x）max

从而x∈（0,π）,f'（x）等于<0成立

可知,函数f（x）等于在（0,π）单调递减.

由偶函数的性质,可知函数f（x）等于在（-π,0）单调递增.

这道小题单调性的证明过程分别利用了构造函数、二次求导,特别是在无法判断一阶导数的正负时,通过对构造函数进行二次求导来判断一阶导数的正负,从而判断原函数的单调性的方法,对大部分基础较差的同学来说,是导数的学习中一座难以逾越的高山.很多同学一听到构造函数、二次求导等名词就心生畏惧；加之这些题目往往出现在压轴题中,学生缺乏信心,教师也苦于找不出一道难度适中的题目来引导学生入门.而本题恰恰提供了一个很好的例子,这对于提高学生的学习兴趣,增强学习信心,有很大的帮助.

本题虽然是一道简单的选择题,可细细品味,却能发掘其中包含的更深远的价值.一方面它揭示了选择题最典型的解法,如观察法、特殊值法等,可大大提高答题效率,起到事半功倍之效.另一方面,从考查内容来看,这道简单的选择题,全面考查了函数的单调性、奇偶性以及函数的图象等知识；从解答方法来看,特别是利用导数严格证明其单调性,对于学生站在更高的层次来学习和思考,运用导数解决函数问题,降低学习难度,都有着很大的价值.难能可贵的是,本题还有很强的预测性,2013年全国及各地的高考卷里都可以找到这道题目的影子.例如：福建文第5题?郾函数f（x）等于ln（x2+1）的图象大致是（）

此外,还有山东理第8题,四川理第7题等都是相同类型的题目.

正所谓,小题目,大境界.

（责编易惠娟）

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