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高考立体几何解答题作为中档大题,与教材上出现的习题有着非常密切的联系.其联系主要表现在三个方面：一是高考题改变教材习题的问法,即将某个条件放到结论中去；二是由教材习题的两个或多个基本图形组合而成；三是改变教材习题图形中的线面位置.学生在回归教材复习阶段,不能孤立地看一道道习题,可以适当给予组合或对问题采取逆向改变,从而起到对教材习题融会贯通的作用.下面就一道高考真题与教材中的习题的关系作分析,以期起到抛砖引玉的作用,使学生的复习真正落到实处,从而把握立体几何高考题的命题趋向.
（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A1―BD―C1的大小.
参考答案（方法1）（Ⅰ）证明：在Rt△DAC中,AD等于AC,可得∠ADC等于45°.同理有∠A1DC1等于45°,则∠CDC1等于90°.于是可得DC1⊥DC.又DC1⊥BD,则DC1⊥平面BCD,所以DC1⊥BC.
（Ⅱ）解：由DC1⊥BC,CC1⊥BC,得BC⊥平面ACC1A1,所以BC⊥AC.
取A1B1的中点为O,过点O作OH⊥BD于点H,连接C1O,C1H.由A1C1等于B1C1,可得C1O⊥A1B1,平面A1B1C1⊥平面A1BD,则C1O⊥平面A1BD.
由OH⊥BD,可得C1H⊥BD,则点H与点D重合,且∠C1DO是二面角A1―BD―C1的平面角.
故二面角A1―BD―C1的大小为30°.
教材原题1（人教A版高中数学教材必修2第73页第3题）如图,在三棱锥V―ABC中,∠VAB等于∠VAC等于∠ABC等于90°,试判断平面VBA与平面VBC的位置关系,并说明理由.
解答过程平面VBA与平面VBC的位置关系是垂直.
由VA⊥AB,VA⊥AC,可得VA⊥平面ABC.于是得VA⊥BC,AB⊥BC,所以BC⊥平面VBA.又BC?奂平面VBC,所以平面VBA⊥平面VBC.
教材原题2（人教A版高中数学教材选修2-1第119页第2题）如图,长方体ABCD―A1B1C1D1中,E,F分别在BB1,DD1上,且AE⊥A1B,AF⊥A1D.
（1）求证：A1C⊥平面AEF；
（2）当AB等于4,AD等于3,AA1等于5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的余弦值.
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演变4：将教材原题2中的第（2）问中的二面角换一个位置作为高考真题的第（Ⅱ）问,而且将条件简单化,即教材原题2中的“AB等于4,AD等于3,AA1等于5”,而高考真题中的“AC等于BC”,在作二面角的平面角时更为直观和简单.
我们不难发现,上述演变有机地将教材原题整合为高考真题,有效地考查了“线面垂直与面面垂直的转化”和“证明线线垂直方法的多样性与灵活性”.因此,这启发学生在回归教材时,应注意以下环节：
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①抓住教材习题中“基本图形的线面关系”,适当将题设中的条件和所要探求的结论交换,得到一个新命题,达到融会贯通题目所要考查的知识点和方法的目的.
②将基本图形简单组合,一般可以将三棱锥置于长方体或正方体中,从而发现新的线面关系.
③归纳一类基本图形的处理方法.
杨耀美,中学高级教师,数学备课组组长,2011年获得“澧县首届优秀备课组长”称号.有多篇文章在省级刊物上公开发表.主编多部高考复习教辅书,主持并编写高一至高三年级数学全套导学案.
（责任编校周峰）
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