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名堂就是要数学化李闯

关于结尾,如果我们作一次时间和空间上的升华的定义,而不拘泥于课堂最末几分钟的话（比如说,我们将其称之为课堂的后半段）,那么,数学课堂结尾里面的名堂,就会淋漓尽致地凸显出来.

从一个片段说起.

情境创设后,教师要求学生解决以下问题：某人外出旅行时带了两件不同颜色的上衣和三条不同颜色的裙子,问一共有多少种不同的搭配方法?

教师鼓励学生用实验的方法解决问题.学生拿出笔,在纸上实际地画出各种可能的组合.在大多数情况下,学生完全可以凭借自己的努力找到正确的答案,还能对所找到的答案的正确性做出一种并不是那么严格的论证,或者说是朴素说明性的解释.

但是,此时,教师没有总结通法.接着,教师又叫学生解决以下类似问题：某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带,问一共有多少种不同的搭配方法?有两个军官和三个士兵,现由一个军官和一个士兵组成巡逻队,问一共有多少种不同的组成方法?某人外出旅行时带了三件不同颜色的上衣和四条不同颜色的裙子,问一共有多少种不同的搭配方法?有四个军官和五个士兵,现由一个军官和一个士兵组成巡逻队,问一共有多少种不同的组成方法?

学生还是采取实验的方法寻找上述问题的解答方法,没有通过这一问题解决活动学会解决此类问题的通则、通法.教师穿梭,帮助各个小组一一解答.经过学生的自主探究和教师的顽强引导,这些问题最后基本都解决了.课堂也到了下课时间.

这个片段教学,折射出目前数学教学中一个很普遍的现象——教师老是要学生操作探究实验,还要求学生自己得出一些结论.但是,严格来说,这不能称之为真正的数学教学.因为它只是停留在实际操作的层次上,没有上升到抽象思维的水平,学生只有直觉感受,缺乏理性认识.在这个过程中,学生并没有掌握解决此类问题的具体方法,对于这个片段而言,学生更没有掌握排列、组合的有关知识,遇到同类问题时,解决的方法还是实验.

总而言之,这样的教学,缺乏数学教学中一个最重要的环节——教师帮助学生总结通法（公式,概念的数学表达,等等）.我们将这个重要环节冠以一个很好的名字：数学化.于是,我们将数学课堂后半部分的名堂找了出来.

正如弗赖登塔尔所说的那样：数学教育的过程是学习数学化（运用数学知识组织现实世界）和形式化的过程.形式化是数学的基本特征,数学教学不能停留在直观和操作的水平,必须发展到形式化阶段,在抽象的层次上思考问题.

于是,我们可以说,要让数学课堂结尾有名堂,我们必须数学化.不论你之前是要学生探究也好,还是你带来一大堆的生活情境、快乐游戏乃至动人的故事也好,作为教师,最终我们要引导学生将这些七七八八做数学化的处理,得到完美的数学公式、通用方法.学生才能拿着它们当武器,去解决新问题.

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数学化与数学教育——以小学数学为例张新春

一、关于数学化

数学化是弗赖登塔尔关于数学教育的核心观点之一.所谓数学化,在弗赖登塔尔看来,是指数学地组织现实世界的过程.即人们在观察、认识和改造客观世界的过程中,运用数学的思想与方法分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织,以发现其规律的过程.弗赖登塔尔认为：“毫无疑问,学生应当学习数学化；自然先在最低层次,对非数学事物进行数学化以保证数学的应用,接着还应进到下一层次,至少能对数学事物进行局部组织.等应当懂得,没有数学化就没有数学,没有公理化就没有公理系,没有形式化也就没有形式体系.等因此,数学教学必须通过数学化来进行.”他这样认为：“与其让学生学习公理体系,不如让学生学习公理化；与其让学生学习形式体系,不如让学生学习形式化.一句话,与其让学生学习数学,不如让学生学习数学化.”

数学化的对象可以分成两类,一类是现实世界中的对象,另一类是数学对象本身.正是根据对象的不同,数学化被分为了横向数学化（或水平数学化）与纵向数学化（或垂直数学化）.前者是指实际问题转化为数学问题的数学化,即发现实际问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理的过程.后者是指在数学范畴之内对已经符号化了的问题做进一步抽象化处理的过程.简单的说,前者是从现实世界到数学,后者是从数学到数学.前苏联数学教育家斯托利亚尔指出,数学活动有“经验材料的数学组织化”和“数学材料的逻辑组织化”之分,这两者基本对应着横向数学化和纵向数学化.

如何撰写论文综述
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横向数学化大体包括如下基本流程：

（1）确定一个具体问题中包含的数学成分；

（2）建立这些数学成分与学生已有的数学模型之间的联系；

（3）通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；

（4）找出蕴含其中的关系和规则；

（5）考虑相同数学成分在其他数学知识领域中的体现；

（6）做出形式化的表述.

纵向数学化大体包括如下基本流程：

（1）用数学公式表示关系；

（2）用有关规则做出证明；

（3）尝试建立和使用不同的数学模型；

（4）对得出的数学模型进行调整和加工；

（5）综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型；

（6）用已知数学公式和数学语言尽量准确地描述得到的新概念和新方法；

（7）作一般化的处理和推广.

小学生由于受年龄特点和已有知识水平的限制,他们的数学化,以横向数学化为主.《义务教育数学课程标准（2011版）》中强调“重视学生已有的生活经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”.这事实上即是横向数学化的过程.随着学生数学知识的逐渐丰富,他们同样面临对这些数学知识进行重组、结构化等任务,这就是纵向数学化.

二、横向数学化与生活情境横向数学化的出发点是现实生活中的具体实际问题,基本过程是要从这个具体实际问题中抽象出数学的成分,发现其中蕴含的关系与规则,并努力使这这些成分概念化、符号化.以“圆的认识”为例.“圆的认识”一课中,我们希望学生能认识到圆是由到定点的距离为定长的点组成的图形,并掌握圆心、半径、直径等概念.为此,我们设计了一个具体问题,让学生在解决具体问题的过程中实现横向数学化.只要具体问题中能蕴含本课关心的数学成分,并便于学生抽象概括,这样的问题就是好问题.在此,我们提供两个关于圆的认识的案例.

让数学课堂结尾有名堂(二)参考属性评定
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