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,可以站成如图2所示的队形.在这里,桶的位置与圆心,人的位置与圆上的点,桶与人的距离与半径,分别代表着具体实际问题中的数学成分与抽象的数学概念.引导学生经历发现具&
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例2.下水道的井盖为什么做成圆形的.
对这一问题的回答多种多样.
回答一：方便安装.
若做成正三角形的,则只有三个方向可以顺利安装.
若做成正方形的,则只有四个方向可以顺利安装.
类似的,若做成正五边形、正六边形,则分别只有五个方向和六个方向可以顺利安装.而若做成圆形,则可以从任意方向安装.
以上是分析具体问题,而其中的数学成分显然有对称性.圆有最佳的对称性.从安装井盖的方便与否到关注井盖形状的对称性,已经是横向数学化了.而从这种对称性出发,还可以继续得到与圆有关的概念,这些同样是横向数学化.
回答二：不会掉下去.
不难发现,圆形的井盖的确不会掉下去.
我们分析一下其他形状的井盖是如何掉下去的.不妨以正三角形为例.
如图3,对于略小于井盖的正三角形孔洞而言,存在一个距离a略大于井盖的高b,于是,井盖就有可能从相应的方向掉下去.
对于正方形、正五边形、正六边形等形状,同样可以找到类似的a和b.而圆形没有这样的a和b.任意一组把圆夹在中间的平行线之间的距离都是相等的（如图4所示）.于是,只要圆形井盖略大于圆形的孔洞,则从任意一个方向都无法掉下去.
从井盖掉不下去到上述平行线之间的距离,再从这个距离到圆的直径,这即是在进行横向数学化.
小学数学中,这类横向数学化的例子还有很多.如乘法分配律与购物算总价的不同方法（购买若干套衣服,算总价时可以先算一套衣服的钱再乘套数,或先用乘法分别算出上衣的钱和裤子的钱再相加）,又如教室里学生的座位与用数对表示点的位置,等等.在此,我们提出,为了有效地实现横向数学化,一方面,我们选择的生活情境中的具体问题必须本质上含有相应的数学成分,另一方面,我们必须引导学生从分析具体问题出发,完整地经历抽象概括的过程而得到抽象的、形式化的数学知识,而不能是反过来用这些抽象的、形式化的数学知识来解释、解决具体问题.如果这样,就变成了弗赖登塔尔所说的“教学法的颠倒”,或者形象的说是“把犁放在了牛的前面”.
三、纵向数学化与数学情境
随着数学知识的不断丰富,学生将面临对已经掌握的数学知识进行重组、重新建构.此时,有些新知识的学习本身就是这种重组和重新建构的过程,有时候则是利用这种重组与重新建构.
我们以“角的度量”为例.
学生在学习角的度量之前,已经有了关于度量的知识和经验（比如线段长度的度量）.学习角的度量,就可以从对原有的关于度量的数学知识与经验进行重新认识开始.
回忆线段长度的度量,我们不难发现,以下要素是关键的.（1）必须有一个统一的度量单位.比如厘米.这个单位,实质上也是一条线段（在此,我们不区分一条线段和一条线段的长度）,我们不妨称为“单位线段”.（2）要有一个度量的工具.本来,有了单位线段,我们就可以用这个单位线段一次次去度量目标线段,量得的次数即是线段的长度.但为了度量的方便,我们发明了直尺这样的工具,这个工具本质上是把单位线段叠加在一起,并对叠加的情况用刻度标明.（3）有一个度量的方法.这种方法即是将要度量的对象与度量工具进行比照.
以上即是一个关于度量的数学情境.
转到角的度量中来.（1）角的度量也需要一个单位.这个单位本质是一个角（在此,我们也不区分一个角和一个角的大小）.我们不妨称之为“单位角”（如图5所示）.和单位线段一样,作为角的度量的单位,单位角也是人为规定的.比如,我们不妨以下面的角作为单位角.
（2）要有一个工具.这个工具也应该是单位角的叠加.只是角的叠加与线段的叠加不同,应该是如图6所示.与直尺的长度不是关键问题（即用多少个单位线段叠加在一起作为测量工具不是关键问题）一样,用多少个单位角叠加在一起作为角的度量工具也不是关键问题.在以下的工具中,标上刻度即可以进行角的度量了.
（3）有一个度量方法.即将待度量的角与测量角的工具进行比照.线段的度量是将线段的起点对准0刻度,终点所对应的值即是线段的长度.而角的起点是它的一条边,而终点是另一条边.角的边是射线,所谓射线对准了,指的是端点和方向一致.
以上过程,即是在将原有的数学知识与经验进行重新组织的过程,我们可以称之为纵向数学化.在小学数学中,这种纵向数学化的过程也常见.在此再举一例.如课程标准中提出,要让学生“在具体情境中,了解常见的数量关系：总价等于单价×数量、路程等于速度×时间、总价等于单价×数量”.如果说在具体情境中了解这些数量关系是横向数学化,那么,学生了解了这些数量关系后,能用统一的观点意识到这些数量关系都是乘法关系,甚至能用长方形面积的模型统一这些数量关系,即是纵向数学化.
数学化的思想内涵丰富,值得我们在实践过程不断地加深理解,并不断用我们的教学实践去丰富其内涵.（作者单位：长沙市教育科学研究院）
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