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至此,当两组不同的原始数据的平均数都一样的情况下,不仅使用平均数失效,而且使用平均离差也失效.这就需要考虑、考察导致平均离差为零的原因何在.事实上,导致平均离差为零的原因是,所有的离差在加法运算中将全部互相抵消,或上或下,或前或后,或左或右,通通消化掉.由于偏差、离差是一个客观存在,因此就需要考虑如何保住离差,使其在加法运算上不被互相抵消,得以保存下来,以期反映一组数据的一个客观实在.
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就在此时,一道亮丽的光彩在课堂上闪现,学生潘翊、赵弦不约而同地提出,给每个离差取绝对值!这是很数学化的思考的,合情合理,合乎逻辑,简直就是专业数学工作者的思考,而且是课本上所未提及的.
当已知一组具体的数据,用笔算是不难求出其平均距离的.可是,由于平均距离含有一组绝对离差,而在理论上,去掉每一个绝对值都需要首先判断绝对值符号内式子的正负号,因此平均距离在理论演算、运算上很不方便、很不经济.这就需要进一步考虑寻求具有与绝对值相同的功能、相当的作用的数学方法.
至此,学生普遍能作出自然的反应,即对离差取平方!水到渠成.事实上,只要是对离差取偶次方,都能保住离差,使其不在加法运算中被相互抵消.不过取平方自然是取偶次方的最简单者.这样,两数差的平方就可以容易地展开为二次齐次三项式,理论运算比较起来非常方便.
这就是方差的来历.
真乃一波三折、跌宕起伏!尽管如此,事实上,从平均距离、方差和标准差的算式来看,它们都可以分别直接反映一组数据偏离平均数的情况,都能从反面反映一组数据与平均数的集中趋势.更何况方差与标准差是一对对偶关系,平方与开平方的关系.
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