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如何使得数学问题的解决更为容易,这一直以来都是施教者与受教者不断探索的一个重要课题,也是提升学生数学能力的关键.而导数作为一种研究函数性质以解决其它数学问题的重要工具,在高中数学的解题中有着广泛的应用.一般而言,在高中数学中,导数会被运用到函数题目的解析、几何问题以及不等式问题等的解决之中.本文主要通过一些示例,探讨了导数在高中数学解题中的典型应用.

一、导数在函数中的典型应用

导数因为其特殊的性质以及所蕴含的意义,被广泛的运用到了各种类型的函数的解题中,其中最典型的是对于函数单调性、单调区间、极值以及最值的求解中.下面我们来通过一些典型的例题进行基本的讲解：

1.函数单调性与单调区间

例：已知函数f（x）等于-x3+3x2+9x+a,求f（x）的单调性以及单调区间.

分析：在拿到这样的一个题目的时候,如果按照常规的方法求单调性以及单调区间,很难做到,看到函数是高次幂,并且可导,那么我们就可以考虑到用导数求其单调性以及单调区间.

解：f'（x）等于-3x2+6x+9,令f'（x）>0,那么解得x<-1或者x>3,也就是说函数在（-∞,-1）,（3,+∞）这个单调区间上单调递减.

2.函数极值最值

例：已知函数f（x）等于-x3+3x2+9x+a,若f（x）在单调区间[-2,2]上的最大值为20,那么函数在这个区间上的最小值为多少?

分析：通过观察我们发现,这个题目给出了函数在固定区间上的最大值,让我们来求其固定区间上的最小值,由此可知,这是一个逆向思维的题目.需要我们确定函数的解析式,也就是需要确定a的值,下面我们来看具体的解题步骤.

解：由题意可知：f（-2）等于2+a,f（2）等于22+a,所以我们可以得出f（-2）0,在区间[-2,-1]上f'（x）<0,所以函数在区间[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,所以在-1处取得最小值,在2处取得最大值.于是可得a=-2,于是f（-1）=-7,也就是本函数在区间[-2,2]上的最小值为-7.

二、导数在不等式中的典型应用

导数在不等式中的应用最多的是对于不等式的证明,通过函数的构造,从而对整个函数进行单调性的判断,从而使得整个不等式得到有效的证明.下面我们来看看导数在证明不等式中的具体的应用：

例：已知函数f（x）等于xlnx,其中0分析：在拿到这个题目的时候,我们往往会被复杂的需要证明的不等式弄得一头雾水,似乎无处下手,但是我们如果在解题中能够想到导数的运用,那么肯定会事半功倍.通过求导,明确函数的单调区间,从而对a、b值做个限定,进行分类讨论从而证明不等式的成立.

解：函数求导可得：f'（x）等于lnx+1,则可以设G（x）等于f（a）+f（b）-2f[（a+b）/2],则G'（x）等于f'（x）-4{f[（a+x）/2]}'等于lnx-ln[（a+x）/2].

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则可知,当0a时,G'（x）>0,因此我们可以知道G（x）在区间（a,+∞）上是增函数.

例析导数在高中数学题目解答中的典型性应用参考属性评定
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