关于自变量类论文范例,与苏科版初中数学求二次函数最值问题商榷相关论文答辩

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二次函数教学是初中数学教学的难点,尤其是近年来以二次函数为背景的实际运用型问题,更是中考的热点之一,而其中难度较大的,当属于有“条件约束”下的最值问题.

苏科版九年级（下）教材中6.4《二次函数的应用》中,有两个利用二次函数求最值的实际运用问题：

问题一：某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划多承租100—150亩稻田,预计原360亩稻田今年每亩可收益440元,新增稻田x亩,今年每亩的收益为（440—2x）元.试问：该种粮大户今年要承租多少亩稻田,才能使总收益最大?最大收益是多少?

书本解答（分析过程略去）：

因为y等于—2（x2—220x）+158400

等于—2（x2—220x+1102—1102）+158400

等于—2（x—110）2+182600

所以,当x等于110时,y有最大值182600.

该种粮大户要多种110亩水稻,才能使今年的总收益最大,最大收益为182600元.

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该问题的解答,没有考虑自变量取值范围对最值的影响,故应先判断函数最值是否出现在自变量范围内,原解答过程在配方后应加上：

因为x等于110在自变量取值范围100≤x≤150内,所以当x等于110时,y有最大值182600.

问题二：室内通风和采光主要取决于门窗的个数和每个门窗的透光面积,如果计划用一段长12m的铝合金型材,制作一个上半部是半圆,下半部是矩形的窗框,那么当矩形的长、宽分别为多少时,才能使该窗户的透光面积最大（精确到0.1m且不计铝合金型材的宽度）?

书本解答：设矩形窗框的宽度为2xm,则半圆形窗框的半径为xm,半圆周长为πxm,矩形窗框的高为（12—2×2x—πx）m即（6—2x—πx）m.

设窗户的透光面积为Sm2,则

S等于πx2+2x（6—2x—πx）等于—（π+4）x2+12x

当x等于—等于≈1.1时,S的值最大,即当矩形窗框宽约为2.2m、高约为2.1m时,该窗户的透光面积最大.

同样,该题的解法中也忽视了自变量的取值范围,不过此问题中自变量的取值范围没有直接给出,需要我们根据题目实际意义求得,即：

4x+πx<12,解得x<≈1.68,所以自变量x的取值范围为0

故该题在配方后仍要加上自变量的取值范围,判断x的取值在自变量的取值范围内,然后才能判断当x≈1.1时,S取得最大值.

实际问题中求二次函数的最值,属于有“条件约束”最值问题,此类问题对于学生来说有一定的思维难度.苏科版教材在介绍二次函数最值求法时,并没有涉及到该类问题,所以,当涉及到在实际问题中求二次函数的最值问题时,教材采取了回避求函数自变量取值范围的做法,默认了实际问题中自变量的取值都在其取值范围内.

从数学严谨性的角度,笔者提出商榷意见,是否可在前面学习求二次函数最值的基础上,渗透有“条件约束”最值问题的基本求法,或结合函数图像渗透有“条件约束”的二次函数图像画法,那么学生在接触到实际问题时,不会因为思维跳跃过大而难以理解,这样也可以让学生从根本上理解二次函数,大大提升他们对函数整体性和连贯性的认识.

（责任编辑杨子）

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