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摘 要：本文从幂级数展开教学着手研究,借助Mathematica的功能来实现泰勒和洛朗级数的展开.Mathematica内容丰富、功能强大、语法简练、操作方便,可轻易实现各类函数在不同区域的级数展开.将Mathematica应用于数学物理方法的教学中,可以使教学更加形象、生动,从而取得更加良好的教学效果；同时进一步推动基础物理教学方法的现代化进程.

关 键 词：Mathematica技术；幂级数展开；数学物理方法

中图分类号：G644.5文献标志码：A文章编号：1674-9324（2012）09-0070-02

引言：

随着计算机的逐步普及,人们对计算机的依赖程度越来越高.Mathematica系统能够完成符号运算,数学图形绘制,甚至动画制作等多种操作,是目前世界上应用最广泛的符号计算系统之一,与MathCAD、Maple、Matlab并称“四大数学软件”.在目前课堂教学中,教学课件尤其是Powerpoint的应用已经非常广泛并且能够取得比较好的教学效果,但是对于一些物理问题的最终结果不能给出形象的演示,基于此可以借助Mathematica强大的函数分析能力、图象模拟能力,将其应用于多媒体教学当中,能够更生动形象地向学生表达出抽象的物理含义、详细的物理过程.

幂级数展开在函数的近似表达式,常微分方程的求解等方面有重要应用.不同函数的幂级数展开是一个很繁琐的计算过程,利用Mathematica进行幂级数展开,可以使教学更加形象、生动,从而取得更加良好的教学效果.

一、Mathematica在泰勒展开中的应用

Mathematica能把函数展成级数的形式,还能对级数及级数间

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f（x）等于an（x-x0）n等于（x-x0）n,

称之为泰勒级数.

在Mathematica系统中,用Series将一个函数f（x）展开成为幂级数.其调用形式如下：

Series[f,{x,x0,n}]把函数f在点x0处展开到x的n次幂.命令不仅可以展开具体的函数,而且可以展开抽象的函数.

示例1：展开下列函数为幂级数：

y等于tgx在x0等于0处展开

解：输入：Series[Tanx,{x,0,9}]输出：

x+++++o[x]10

二、Mathematica在洛朗展开中的应用

1.函数在孤立奇点去心领域内展开成罗朗级数.

示例2：将f（z）等于cot[z]在奇点处展开成罗朗级数.

输入：Series[cot[z],{z,0,6}]输出：---+o[z]7

2.本性奇点处的级数展开.

在本性奇点的展开式在中有无限个负幂项.在本性奇点的展开要将做变换z->1/z,将z等于0变换为z等于∞.示例3：将函数e1/z在z0等于0领域上展开.输入：Series[Exp[1/z],{z,∞,5}输出：1++++++O[]6

3.不同环域上的级数展开.

在内圆域的展开可以直接调用series函数,在外半径为∞的圆环域的展开要做变换替换z->1/z.

示例4：将函数在指定的环域（1）1<|z|<2（2）|z|>2上展开为洛朗级数.

输入：Factor[]//Apart输出：-其中Factor命令是将多项式进行因式分解,Apart命令是将分解的多项式写成最小因式的和形式.输入：Series[,{z,0,5}]-Series[,{z,∞,5}]

输出：（------+O[z]6）+（--（）2-（）3-（）4-（）5+O[]6）

这个结果就是函数在环域1<|z|<2展开的洛朗级数.

输入：Series1/（-2+z）,{z,∞,5}]-Series1/（z-1）,{z,∞,5}]

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输出：+++++O[]6--（）2-（）3-（）4-（）5+O[]6

这个结果就是函数在环域|z|>2展开的洛朗级数.通过展开的前几项我们可以很容易得到他们的通项形式.

总结：

通过以上的实例分析,可知Mathematica在级数展开的教学过程当中,能够发挥到相当好的作用.一方面,它充当了教师在做课件时的强大工具,从而可以给学生们提供形象、直观的教学信息,提高了教学效率.另一方面,它又鼓励了学生们用它对一些物理问题给予探索和模拟,从而提高学生们的学习积极性,培养了学生们的创新能力.

参考文献：

[1]阳明盛,林建华.Mathematica基础及数学软件[M].大连：大连理工大学出版社,2003.

[2]梁昆淼.数学物理方法[M].第4版.高等教育出版社,2010.

[3]郭玉翠.数学物理方法简明教程[M].北京邮电大学出版社,2002.

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