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内容摘 要：等周问题在自然界和我们的生活中随处可见,对于这些司空见惯的现象,从教材、课堂到生活,前人的思考和我们的深入研究,都会给我们一定的启发.可以暂时地、适当放弃数学的严格,考虑学生的可接受性,从而拓展学生的视野.
关 键 词:：平面封闭图形圆面积
平面等周问题：在周长相等的平面封闭图形中,圆的面积最大.等周问题在自然界和我们的生活中随处可见,我们有必要把这个问题的来龙去脉搞清楚.
一、教材中几个与面积有关的问题
在人教版数学教材的不同的章节中给出了下列一些问题.
问题1：已知正方形A、矩形B、圆C的面积均为628cm2,其中矩形B的长是宽的2倍,如果π取3.14,试比较它们的周长LA、LB、LC的大小.解完本题后,你能得到什么启示
问题2：用48m长的篱笆在空地上围成一个绿化场地,现有几种设计方案,正三角形、正方形、正六边形、圆,哪种场地的面积最大（可以利用计算器计算）
问题3：分别用定长为L的线段围成矩形和圆,哪种图形的面积最大为什么
对于问题1,我们通过计算可以得出这样的结论：在周长相等的情况下,圆的面积>正方形的面积>矩形的面积.对于问题2,通过计算不难得出：在周长相同的情况下,圆的面积>正六边形的面积>正方形的面积>正三角形的面积.对于问题3,我们建立二次函数模型,利用函数的性质不难得出：周长为L的圆的面积>周长为L的矩形的面积.无疑,在解决这些问题的过程,学生基本上认识到：在周长一定所有的平面封闭图形中,圆的面积最大.
上述问题被称为平面等周问题.
二、生活中的平面等周问题
平面等周问题的另外一种说法是：在面积相同的平面封闭图形中,圆的周长最小.
等周问题是说在平面图形中,周长一定的形状,以圆的面积为最大,因此圆可以说是“最经济”的图形.这也就是为什么自然界中的许多东西都呈圆形的缘故.如向日葵的种子排满了盘的的表面,这些种子“撑”出了一个圆形；植物的茎干的横截面、水管的横截面、树木的年轮、硬币、徽章等都是利用了“最经济”这一特性.
三、前人对平面等周问题的探索
同三阶幻方类似,等周问题有着悠久的历史,它的历史甚至可以追溯到希腊以前的时代,并且它们的起源同样是具有神秘色彩的传说.
根据Coolidge的考证,古希腊数学家Zenodorus在公元前二世纪就研究过这类问题,他的研究成果在5个世纪后由Pappus祥述并加以推广.据说阿基米德解决过该类问题,但是在他的研究工作中没有找到任何证据.解析几何的创始人之一法国著名数学家笛卡尔曾经对几个面积相等的特殊图形进行考察,并运用归纳法得出一个一般的结论：在所有面积相等的平面图形中,圆具有最短的周长.
德国著名数学家JacobSteiner(1796—1863)被誉为̶
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四、从德国著名数学家JacobSteiner的三个定理透视平面等周问题
接下来,我们介绍JacobSteiner给出的较为直观的证明.
定理1：若C是周长L一定的所有闭曲线中围成最大面积的那条闭曲线,则C必定是凸曲线.
所谓凸曲线是指在曲线上任取两点A、B,若连接A、B的线段AB全部落在曲线上,或落在曲线围成的区域内部,则称这条曲线是凸的.如图1(1)中的曲线是凸曲线,图1(2)中的曲线不是凸曲线.
图1
(1)(2)(3)(4)
证明：若C不是凸曲线,则在C上一定可以找到一对点O和P,使线段OP在C外(如图2(3)所示).这时我们以OP为轴,把曲线OQP反射到另一侧成为曲线OQ′P.弧OQ′P与弧ORP一起形成长度为L的一条曲线,而它包含的面积比原曲线C包含的面积大.这与C是周长L一定的所有闭曲线中围成最大面积的那条闭曲线的假设相矛盾,所以C必定是凸曲线.
定理2：若C是周长L一定的所有闭曲线中围成最大面积的那条闭曲线,则选取两点A、B把曲线C的周长平分时,其面积也必被同时等分.
证明：现在选取两点A、B把曲线C的分割成长度相等的两段弧.这时直线AB也必将C所围成的面积分割成两个相等的部分,否则,我们可以把较大的面积的那部分对AB作反射,就得到另一条长度为L而比C围有更大面积的曲线.(如图1(4))
定理3：两端点A、B在一直线上的长度为的弧与这条直线围成的面积最大时,这条曲线必定是半圆.
证明：设弧AOB是该问题的解,其中O为该弧上任意一点,我们只要证明∠AOB等于90°即可.假定∠AOB不是直角.那么我们用图2(2)中的图形代替图2(1)中的图形.在这个新图形中,阴影部分的面积和弧AOB的长度没有发生变化,而由于∠AOB等于90°,三角形的面积增大了,这样图2(2)中的图形比原图形有更大的面积.这与假设相矛盾.这个矛盾证明了对任意点O,∠AOB必是直角.
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图2
(1)(2)
由定理2和定理3可知,满足等周问题的解是圆.
当然,所涉及的数学知识对初生来说是很难的,但老师只有深度剖析,才能对学生研究性学习进行高屋建瓴的有效引导.我们必须培养学生具备超强的应变的能力,也就是要有“准确观察事物”而且“洞察本质为何”的能力,才能在研究性学习中走出坚实的第一步.
参考文献
[1]张顺燕.数学的美与理[M]
[2]H德里.100个著名初等数学问题-历史和解[M]
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