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关于数学类论文范文检索,与数学归纳法的应用举例相关论文范文
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【摘 要】数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法,具有推理、研究两种基本意义.本文主要给出了数学归纳法在各种数学问题中的应用举例,旨在利用归纳法发现和提出数学猜想,发现问题的结论,找到解题途径.
【关 键 词】数学归纳法；完全归纳法；应用举例
1引言
归纳法是从个别的论断归结出一般结论的推理方法,一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,数学归纳法属于完全归纳法.数学归纳法是一种特殊的论证方法,是解决有关整数问题的一种工具,它使我们能够在一些个别实例的基础上,对某个普遍规律做出论断.虽然说数学归纳法适用于有关整数的问题,但是它在很多数学问题中都有重大的作用,很多不等式问题、几何问题、函数迭代问题、整除性问题用它来解决都能收到很好的效果.
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2数学归纳法的应用举例
2.1证明有关自然数的等式
例1：证明前n个自然数的立方和．
证明1.．
2.假设,
则
命题证明完毕．
2.2证明有关自然数的不等式
例2：（贝奴利不等式）用数学归纳法证明：(1+∂,)n>1+n∂,,这里∂,>-1且不等于0,n是大于1的自然数.
证明1.对于n等于2,因∂,2>0,故不等式正确．
2.假设不等式对于n等于k成立,k∈N,即(1+∂,)k>1+k∂,.
当n等于k+1时,(1+∂,)>0,从而有(1+∂,)k+1>(1+k∂,)(1+∂,),则(1+∂,)k+1>1+(k+1)∂,+k∂,2,将不等式右边舍去正项k∂,2,可知所求证不等式成立．
2.3在函数迭代中的应用
一些比较简单的函数,它的n次迭代表达式,可以根据定义直接代入计算,归纳出一般规律后,再用数学归纳法予以证明.所以,直接求法的本质,就是数学归纳法.其中,关键是通过不完全归纳法,找出f[n](x)的一般表达式.
例3：f(x)等于x2,求f[n](x)．
解由定义,f(x)等于x2,
f[2](x)等于f[f(x)]等于f(x2)等于(x2)2等于,
一般地,可猜得,．假定上式成立,则有．
由数学归纳法知,对所有自然数n都成立．
2.4在几何中的应用
例4：空间被n个平面（这些平面每三个相交于一点,但每四个没有交点,即各斜交平面）划分成多少个部分?
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解1.一个平面将空间分成两个部分．
2.假设空间被n个斜交平面划分成F3(n)个部分,然后考虑n+1个斜交平面的情形．
原先的n个平面将空间划分为F3(n)个部分,这n个平面与第n+1个平面π相交于n条斜交线,因此将它划分为个部分．
因此.
用n-1,n-2,...,2,1代替n,
有：
等
,,
将这些等式相加,得：
．
命题证明完毕．
2.5在排列、组合中的应用
由于数学归纳法可以解决有关自然数的问题,而排列组合与自然数密切相关,所以,在排列组合的许多结论,都可以用数学归纳法来证明.比如排列数公式、组合数公式、自然数n的阶乘公式,二项式定理等重要公式,都能用数学归纳法加以证明.
例5：证明n个元素的全排列的种数可以按下列公式求得：
Pn等于123...n等于n！（n是自然数）.
证明1.对于n等于1,上式显然是正确的,P1等于1等于1！．
2.假设n等于k时成立,即Pk等于k！．
当n等于k+1时,加入第k+1个元素,则第k+1个元素的放法有k+1种,由分步计数原理可得：k+1个元素的全排列数
．
从而,当n等于k+1时上式也成立．命题证明完毕．
2.6在数列中的应用
数列是中学数学的一个重要内容,其中等差数列、等比数列尤为重要,它与高中数学中的很多知识都有联系,作为解决整数问题的数学归纳法,同样可以用来解决一些有关数列的知识.如等差数列、等比数列的通项公式以及前n项和公式的证明
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例6：证明等差数列的前n项为.
证明1.当n等于1时,公式成立,S1等于a1．
2.假设当n等于k时公式正确,即,
当n等于k+1时,
因此,对一切自然数n的值,前n项和公式都是成立的．
2.7有关整除的问题
例7：求证：对于整数n≥0下面的式子能被133整除：11n+2+122n+1.
证明1.当n等于0时,上式等于133,显然能被133整除．
2.假设当n等于k时,11k+2+122k+1能被133整除．
当n等于k+1时,
根据我们所作的假设,第一个加数能被133整除,第二个加数里面含有因数133,因此,他们的和,也就是原表达式在n等于k+1的时候也能被133整除．
3结束语
数学归纳法是证明数学问题的一个重要方法,在数学中的应用十分广泛,本文只是简单地举了几个解决实际问题的应用例子.本文介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法：利用归纳法发现和提出数学猜想,利用归纳法发现问题的结论,运用归纳法发现解题途径等.
参考文献：
[1]史久一,朱梧著．化归与归纳类比猜想．[M]大连理工大学出版社,2008.
[2]华罗庚著．数学归纳法．[M]上海教育出版社,1964．
[3](苏联)索明斯基著．数学归纳法．[M]中国青年出版社,1954.
[4]吴之季,严镇军,杜锡录等著．归纳递归迭代.[M]人民教育出版社,1990.
[5](苏联)伊亚杰朴著.数学归纳法.[M]人民教育出版社,1958.
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