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掌握好基本概念

要学好数学,首先要掌握基本概念、定理和公式.正确地理解基本概念是牢固掌握数学基础知识的前提.如果对一些基本的概念搞不清,就不能掌握有关的定理和公式,也就不能正确地进行计算和论证.由于概念模糊而在解题中造成错误的例子是很多的.例如,由于忽视对数运算法则的成立条件,把方程1/2lgx2等于2变成lgx等于2,就会造成失根的错误.

数学中的基本概念、定理和公式虽然很多,由于它具有严密的系统性,因此,概念与概念之间有着严密的联系.在一章一节中,一般总有一两条最基本的概念、法则在起主导作用,从它可以推导出其他的定理、公式和法则.例如,对数的定义是学习对数这一章的关键,搞懂了对数的意义,再理解对数的性质,掌握对数的运算法则和换底公式,都比较容易.怎样才能抓住最基本的概念呢除了自己摸索外,还须争取老师指导.如果把最基本的概念和贯穿整个单元概念的脉络弄清楚了,这时你只要顺着这条主线抓住纲目,在基本概念上下工夫,就能融会贯通,掌握全局.

掌握规律抓住特点

自学初等数学,一定要抓住各门学科的规律和特点,培养逻辑思维和空间想象能力.

代数区别于算术的最大特点,是由于它引入了字母来进行运算.掌握好“字母表示数”的方法和规律,可以使我们的思想从个别到一般,从具߮

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字母可以表示一个数,也可以表示一个式子,还可以表示一个量、一个图形或一个集合；它使代数式不仅具有简单的特点,而且具有更高的普通性和抽象性,因而具有更广泛的实践性,在数学的其他学科以及物理、化学中,也经常用这些字母表示的公式来刻画客观世界的数量关系.例如公式S等于ab,它反映了长方形面积同它的长宽之间的依赖关系；公式S等于vt,它反映了物体运动的路程同速度、时间之间的依赖关系；公式P等于dv,它反映了物体重量同体积、比重之间的依赖关系.上述三个问题都涉及了三个量,如果假定其中一个量在研究过程中保持不变,那么另外两个量就按照一定的比例关系变化着,这是三个问题的一个共性.由此我们就可以得到一个更抽象、更一般的式子y等于kx,它反映了这三个问题的一个共同属性――成正比例关系的量.如果我们再进一步抽象,研究任何两个变量y、x之间的变化规律,即研究函数y等于f(x)的意义,就会使我们的认识上升到更高的理性阶段.因此,在学习代数时,学会用字母表示数,不断培养自己把实际问题转化成数学问题的能力是十分重要的.

三角是从几何中派生出来的一门学科,不少问题要用代数学方法来研究.平面解析几何也是用代数方法来研究的.在解析几何中,通过坐标系的建立,可以把平面内的点和一对实数联系起来,这就可能把平面内关于点的问题,化为关于这些点的坐标的数的问题来进行研究,概括地说,就是“几何问题代数化,图形性质坐标化”.其实,这就是整个解析几何的思想方法.因此,在自学中把握住这个思想方法,学会适当地选取坐标系,研究曲线和方程相互转化的基本规律,对于学习解析几何是很重要的.

在初等数学中,应用形式逻辑进行推理用得较多,这是一种重要的推理方法.培养这方面的能力是学习平面几何的主要目的.开始学几何时可能会被一堆数学术语弄得晕头转向,经过一段时间以后,就会慢慢地清楚:几何研究的定理都是根据定义、公理或已经学过的定理加以证明的.每一步论证都是由若干个相互联系的判断组成的,即由一般的判断(大前提)、特殊的判断(小前提)和结论三部分组成,亦即“三段论法”,它是从一般到特殊的推理方法.掌握了这种思维方法,对几何的认识就会产生飞跃,学习进度也会加快.

独立思考方法恰当

数学逻辑性很强,因此,学习时独立思考很重要.以学习公式为例,不能死记硬背,而要在理解的基础上自然记忆,不仅要掌握公式的特点以及对它的推导过程,而且对公式的使用条件、适用范围,以及它与其他公式的内在联系,都要弄得清清楚楚,这就需要勤于独立思考,对一个公式要从各个角度想想.在看数学书时,对概念和方法的分析部分不能一掠而过,要多问几个为什么.当然,强调“独立思考”,不等于说凡事都要自己单独关在小屋子里苦思冥想,有的人为了一道难题,想了几天,这种精神是可贵的,但这种方法并不一定非要提倡.对一些难度较高、技巧性很强的题目,经过思考,钻研了一番以后仍无法解决,去问问别人,得到指点和启发后再思考,问题解决后再想一想:别人是怎样想出来的原先我为什么想不出受到指点启发后自己找出了什么新方法等等.这样,解题能力就会很快提高.

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最后再谈谈解题问题.学数学做习题很重要.不做习题,对概念的理解不会深刻.开始做习题时要求“准”,不能有差错,一出差错,就分析原因,总结教训.在基本上做到“准”以后,再要求“快”.解题要认真踏实,不要老是翻书上的答案,更不要未开始思考就翻答案.自学者的作业一般没有人批改,所以更不能光看答案.待自己做出来以后,再仔细从头到尾把解题过程审查一遍,然后对对答案,这当然是可以的.

自学青年,最好要订个学习计划.刚开始自学时,有的人没有计划、没有系统,碰到什么书看什么书,拿到什么题做什么题,费了不少时间和精力,收效很小.所以最好有个长计划,短安排,自学一个阶段,做一次小结.要把握住,学懂第一步,才能跨出第二步；扎扎实实地循序渐进,争取在自学中取得主动权.

(晓程摘自上海教育出版社《中学生怎样自学》)

(插图:孙飞)

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