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30340;豇豆,KN是切刀.此时,由DE∥BC可得∠AED等于∠ANC,但待证问题还是不能解决,所以此路不通.

〈第三站〉先把∠AED的切刀DE延伸"加长",交AB于M,我们把豇豆KN沿着切刀DE继续向右平行推进,当KN经过点M时,得到图(8).此时,由DM∥BC可得:∠AME等于∠B,由KN∥AE可得:∠AMK等于∠A,且∠KME等于∠AED

于是可知:∠AED等于∠KME

等于∠AME﹢∠AMK

等于∠A﹢∠B,可见此路通畅.

〈第四站〉把∠AED的刀线DE延伸,让豇豆KN在刀线DE上(保持KN∥AE)继续向右平行推进,当KN恰好经过点B时,得到图(9),此时由KB∥AE可知:∠A等于∠ABK,∠AED等于∠KME,又由DM∥BC知:∠KME等于∠KBC等于∠ABK+∠ABC,于是易证:∠AED等于∠A+∠ABC,可见此路也通畅.

〈第五站〉若豇豆KM(以平行于旧豇豆AE的姿态)在刀线DE上继续向右推进,得到图(10),此时∠AED回归到了三线八角的环境:平行的直线AE和KM是豇豆,直线DE是刀,虽然∠KME等于∠AED,但∠KME与∠A和∠B仍然不易联系,所以此路可暂不作考虑.

〈思维整理(一)〉刚才我们经历了从图(6)到图(10)的五次探索活动,这五次探索活动都有一个心理原因在支撑我们,这个原因就是要把∠AED的"三线八角"结构修补完整.我们的具体作法是:

(1)在∠AED的两条边中确定一刀,一豇豆(如DE作刀,AE作豆),

(2)在刀线(直线DE)上选择合适的点位,来种出另一根新豇豆,使它平行于旧豇豆AE,

(3)新豇豆(直线KM)在刀线(直线DE)上平行推进,直至找到合适的点位,安定下来,让破题思维生根发芽.

〈探索(二):刀豆互换,教师放手,学生动手〉前面的五次探索活动,我们都是选择"甲"配置,现在我们进行"刀豆互换"选择"乙"配置来尝试一下.

先抓出∠AED那么接下来的探索思路就是:如何在刀线AE上选择一个点位来种出一根新豇豆,使它平行于旧豇豆DE.

笔者准备让学生去探索,但这个问题一经提出,便得到了众人的响应,皆呼选择A点来种豆,有同学还"若有所悟"地解释说A点这个地方土壤肥沃,肥料充足.笔者让学生自行解答本题,得出如下两条思路:


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思路(1):过点A作MN∥DE,则得MN∥DE∥BC,

∴∠AED+∠EAM等于180°∠B+∠EAB+∠EAM等于180°

∴∠AED等于∠B+∠EAB

思路(2):由MN∥DE∥BC,知∠B等于∠BAN,

∠AED等于∠EAN

等于∠EAB+∠BAN

等于∠EAB+∠B

笔者对学生的思路给以肯定后,又提出一个问题:我们还能在切刀AE上找到其它的点位来种出新豇豆,使它既平行于旧豇豆DE,又能打通解题思路吗请同学们进行尝试,时间为5分钟.

5分钟后,笔者问了学生:有谁种出了新豇豆吗(当然没有!)又问:在刀线AE上,除了点A,你能肯定其它点位都不适合种豇豆吗(学生也缺乏作出肯定回答的心理力量!)

于是笔者在图(12)中,用直尺在黑板上作演示,当新豇豆MN在刀线AE上,以平行于旧豇豆DE的姿态,上下平移滑动的过程中,确确实实只有点A这个位置适合种豇豆,而其它点位也确确实实不适合种豇豆.为此,笔者向学生表达了一种感叹:只有对知识理解之后,内心才会生出一种"坚信",这种"坚信"是数学的精神力量!不管是"对某个事件的可能性进行坚守",还是"对某个事件的不可能性进行坚守",这都是一种力量,一种充满心智的力量,一种从智慧的心田中泉涌出来的精神力量!只不过这种力量在未来的某一天,是继续坚守,还是果断放弃这要由我们后天的实践活动来作出定夺!

〈思维整理(二)〉前面的"探索(一)"和"探索(二)"经历了从图(6)到图(12)的思维探索过程,这些过程都是针对∠AED来进行"选刀,选豆"的探索活动的,其思路都是:先从角中选刀,再从刀上选点,最后过该点来种豆(作平行线),其目的都是:让∠AED回归三线八角.

实际上,待证问题"∠AED等于∠A+∠B"中,还涉及到∠A和∠B,那么我们是否可以把∠A抓出来,进行"选刀种豆"的研究,以便让∠A回归三线八角的"本源之家"呢抓∠B进行研究呢请同学们在作业中继续研究,尽量做得真心一点.请记住:坚守一种信念,履行一种实践,收获一种智慧,创造一种成果!

〈后记〉两日之后收作业,笔者在批阅过程中感悟颇多,这也是意料之中的事,可谓八仙过海各显"神通",笔者在本文中第一次刻意雕琢修饰:

有人如获至宝,真心诚意,有人视如草芥,虚情假意,

有人坚守信念,有板有眼,有人虎头蛇尾,半途而废,

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有人道听途说,东拼西凑,有人事不关己,高高挂起,

有人初出茅庐,力不从心,有人不闻世事,销声匿迹,

我内心的感受是及其复杂的,但总的来说,在痛苦中有感动的泪花,在失望中有希望的星火,其实这也正是我今天还能在数学教育中继续前行的动力!试问天下园丁谁不期待满园的花香但若能有一枝独秀,都足以令我陶醉,足以令我在数学的庭院中坚守阵地,我守望身边的一草一木,我坚信学生的心田总会散发明心的花香,结出顿悟的瓜果,所以我每逢时机便在思维的土壤里播下种子.我不忘施肥,浇水,我期待并静静地等待,等待那新芽破土的怦然心动,等待那枝繁叶茂的赏心悦目,等待那花朵芬芳的沁人心脾,更等待那硕果累累的内在充实!

现摘取学生的思维成果(经笔者拼凑整合)奉献给读者:

若先选∠A,再选AE为刀,则有两种方法可破题,如图(13)和(14):

若先选∠A,再选AB为刀,则有两种方法可破题,如图(15)和(16):

若先选∠B,再选BC为刀,则有两种方法可破题,如图(13)和(14):

若先选∠B,再选BA为刀,则只有一种方法可破题,如图(18):

〈再谈感悟〉像这类运用平行线的性质来探索角之间关系的问题,我们可以先直接利用图中的三线八角结构来尝试解题,若没有现存的三线八角结构,则可以先尝试把一些线段进行延长来修补完"三线八角"的图形,再尝试解题,若以上探索仍无法破题,则可以通过"三选手段"发挥主观能动性(先从图上选角,后从角上选刀,再从刀上选点种豆)来创造出"三线八角"的图形结构,这样基本上可以破题.所以我把这种破题方法命名为"通过三选手段,回归三线八角",奉献给初一的学生.

〈总述〉实际上,"同位角,内错角和同旁内角"最初产生于三线八角的几何模型中,我们在解题过程中,凭借"三选手段"创造三线八角,其目的是让相关的几何元素"角"能回归到"三线八角"的"本源之家".其中的思想是:化陌生为熟悉,化残缺为完整,化未知为已知.从教师的教法和学生的学法来讲,这正是要求我们要从教材中来,又回教材中去.

前文中谈到"数学家的创作之路"简言之为:探索与继承,应用中升华,精益求精,日臻完善.那么何为升华我认为学生应从这个专题的学习中修成两种成就:

第一种成就是学习方法上的成就,一种表面上是解题方法,实质上是学习方法的成就,这种成就就是要从"古怪角"问题的成功解法中领悟出一个道理:要让"定题型,定方法"的学习技巧回归到数学学习的整个过程中去,

第二种成就就是思维方法上的成就,一种表面上是解题思想,实质上是数学思想的成就,这种成就就是要从"三线八角"图形的成功回归中领悟出一个道理:要让"几何图形元素"回归到它当初出现的本源状态中去.

这两种成就中都强调了"回归"!回归的本意是初从哪里来,终回哪里去但是这种方

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