中等教育类有关论文范文文献,与二次函数数形结合问题相关本科毕业论文

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2,数形结合解方程:

例1,解方程:解,原方程化为:

联想椭圆定义.

等于1等于1

利用方程中隐含的形,以形助数,为这类无理方程的求解开辟了新的途径,不仅巩固了椭圆的定义,方程的知识而

且新旧知识相互联系,相互贯通.

例2,已知x1是方程x+lg2等于3的一个根,x是方程的一个根,那么,x1+x2的值是(B),

A,6,B,3,c,2,D,1

解:设f(x)等于lgx,g(x)等于由图可知,x1+x2等于3.故选B.

由形思数,把空间形式进行代数化处理.谈化"由形到形"的几何推理,用数量点系刻画事物的本质特征,探幽发微,

拉格郎日说,代数与几何两门学科一且联袂而行,它们就互相以对方吸收新鲜活力,从而大踏步走向各自的完美.对于有些代数问题,如能究掘其潜在的内何背景,将抽象的数字语言与直观的图形结合起来,以形助数,将会使条件和结论隐含的内在联系明朗化,从而发现简捷的方法,提高解题能力.

例1,已知,f(x)等于像图如下,则b的取值范围是:()..(-,0).(0,1).(1,2).(2,+),

f(0)等于d等于0f(1)等于a+b+c等于0

f(2)等于8a+4b+2c等于0

解法二,f(x)等于ax(x-1)(x-2)等于

(待定系数法),得:a等于a,b等于-3a,c等于2d,d等于0,又a>,0b<,0

解法三,d等于0,f(1)等于a+b+c等于0b等于-a-c.

f(-1)等于-a+b-c<,0.2b<,0b<,0

点评:本题是体现了知识的适度延拓,其灵活性在于运用数形结合思想,从观察与捕捉图像特征获取信息的一种思考方法.

在解题中要会联想,根据图形特征,列出有关公式,然后求解,

例2:两个单位圆的圆心距离为1,在第一个圆上取点A,在第二个圆上取关于连心线对称的两点B1,B2,求AB12+AB22的最小值,

分析:由形思数的一个重要工具是平面直角坐标系,本题可考虑以定点o2或01为原点,建立坐标系,从而转形为数,开启思路之门,如下图:

解:以02为原点,建立平面直角坐标系,

则:O1.O2:x2+y2等于1

设A(x0,y0),B1(x1,y1),B2(x1,—y1),

则:AB21+AB22等于(x0—x1)2+(y0—y1)2+(x0—x1)2+(y0+y1)2

等于2(x02+y02)+2(x12+y12)—4x0x1

等于2(x02+y02)—4x0+4x0—4x0x1+2

等于2[(x0—1)2+y20]+4x0(1—x1)

等于2+4x0(1—x1)2,

点评:若以三角为2是,设A(1+,),B1(,),B1(,),则AB12+AB22可化为2+4(1+)(1—)2,

例3:椭圆G的直角坐标方程为:试确定m的

取值范围,使得对于L:Y等于4x+m,椭圆G上有不同两点关于L对称.(方法一)分析:数形结合,寻找隐蔽因素,转化结论.

解:设G上关于直线L对称的不同的两点为p(x1,y

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Q(x2,y2)则

由此可求得PQ中点的轨迹方程为:y等于3x在椭圆内的部分,为使G上存在关于L对称的两个不同点P,Q,必须是且只须y等于4x+m与y等于3X的交点M在椭圆内部.

由y等于3x

y等于4x+m求得交点M为(-m,-3m)

因为M在G的内部,所以:3(-)+4(-3)≤12

即::

(方法二)解:设PQ中点的轨迹所在的曲线与G交于E,F,由y等于3x

求得:E,F,

若L过点E,由得:m1等于,同理,若L过点F,得:m2等于,为使M在G的内部,由图可知:

例4:在正△ABC外接圆的内任取一点P,连接PA,PB,PC,求证:

(1)PB+PC等于PA

(2)PB·PC等于PA2—AB2

(3)

(4)PA2+AB2+PC2等于2AB2-

分析:此题可以用纯几何方法来分别证明这些结论,但用代数方法可以统一完成,首先由(1),(2)知PB,PC应是一元二次方程x2—PA·X+(PA2—a2)等于0的两个根,其中a为正△ABC的边长,因而有:

PB2-PA·PB+PA2-a2等于0,PC2-PA·PC+PA2-a2等于0,这启示我们用余弦定理.

证明:设正△ABC的边长为a,首先当PB等于PC时可直接验证,当PBPC时,分别在△PAB,△PAC中用余弦

定理得:

AB2等于PA2+PB2-2PA·PB∠APB等于PA2+PB2-PA·PB及

AC2等于PA2+PC2-PA·PC

即:PB2-PA·PB+(PA2-a2)等于0

PC2-PA·PC+(PA2-a2)等于0

这表明PB,PC是二次方程:x2-PA·x+(PA2-a2)等于0

的两个实数根,由韦达定理有:PB+PC等于PA,PB·PC等于PA2-a2,又由方程有实数根,可知:判别式非负:△等于PA-4(PA2-a2)≥0.

即:,

又由(1)和(2)得:PA2等于PB2+PC2+2PB·PC

等于PB2+PC2+2(PA2—a2)

所以:PA2+PB2+PC2等于2AB2

由以上几方面的阐述可知:数形结合,不失为一种巧妙的方法,它与方程和函数思想相结合,使不少代数问题可利用它的几何背景和图形性质,获得独特的解法.在数学中若平时经常注意形与数的结合,抽象与直观的交替的练习,定能有效地开拓思路,培养提高学生的形象思维和逻辑思维的能力,有助于探索解题途径,从而提高学生的解题能力.

注释

①《高考数学能力解题思路与解法》,蔡玉书,南京师范大学出版社.1997,(102-105).

第一章数中构形,直观表象,快捷,形象,信息转换

②《中等教育教学研究》[M],苗国,山西高校联合出版社.1994,(411-413)

第三章形中思数,探幽发微.

参考文献

(1)《高考数学能力解题思路与解法》,蔡玉书,南京师范大学出版社.1997,(102-105).

(2)《中学数学解题方法》[M],吕凤详,哈尔滨工业大学出版社.2003(10),(147-151).

(3)《中等教育教学研究》[M],苗国,山西高校联合出版社.1994,(411-413).

(4)《数学专题研究》[M],宋伯涛,中国青年出版社,2001(178-188).

后记

由于从教工作压力的巨大,竟然把在学术方面的研究放到了一边,但本科的学习使我把多年从教的经验总结在一起,书写了此篇论文,此论文的书写,对自己有很大的触动,本论文在写作过程中,得到导师及同行的大力帮助,在这里一并表示感谢.

哈尔滨学院继续教育学院学士毕业论文(设计)

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