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(6)在控制图上选取四个特殊点,此时所成圆锥曲线为双曲线,抛物线,椭圆,圆.分别构造到这几个点的移动按钮,并改名为"双曲线","抛物线","椭圆","圆"如图2所示:

第二类课件圆锥曲线的画法

选题:圆锥曲线的画法虽然很多种,但归纳起来有以下五种:

1.利用圆锥曲线的第二定义,

2.利用圆锥曲线的第一定义,

3.利用圆锥曲线的参数方程,

4.利用圆锥曲线的极坐标方程,

5.利用圆锥曲线的标准方程.

此部分将将详细介绍以上方法,并将以动态的形式展示出来.

一、由第二定义出发统一构造椭圆,抛物线和双曲线

原理:到定点和定直线的距离之比等于定值m的点的轨迹:

当0<,m<,1时,轨迹为椭圆,当等于1时,轨迹为抛物线,当m>,1时,轨迹为双曲线.

制作过程:

如图(3)所示:打开一个新画板,画一条竖直的直线j(定直线)和直线外一点A(定点).在直线j上取点C,过点A,C作直线j的垂线l,k,点B,C为垂足.

<,图3>,

2)取点C,B作圆C1,交直线k于E.

3)新建参数t,并标记比值,让点E以C为中心,按标记比进行缩放得E'.

4)取C,E'作圆C2,取CA的中点G和点C作圆C3,交C2于F.

5)用直线连接A,F交直线k于D,则AD/CD等于CE/CE'等于1/t.

6)选中C,D作轨迹,作点D关于直线l的对称点D',选中C,D'作轨迹,最后隐藏不必要的对象.

说明:(1)在圆C1中,CB等于CE,在圆C2中,CF等于CE',在⊿BCF和⊿ADC中,因为∠CFB等于∠ACD等于∠BAC,∠CBF等于∠DAC(同弧上的圆周角相等),所以⊿BCF和⊿ADC为相似三角形.则CB/CF等于AD/CD等于CE/CE'等于m等于1/t,即定点A和定直线j距离之比等于定值m.

(2)单击"运动参数t"按钮,比值m随之改变,这时可以动态地看到,当m小于1的值逐渐变为1时,轨迹由椭圆变成抛物线,当m大于1时,轨迹变成双曲线.

二、由第一定义出发,构造椭圆和双曲线及抛物线

原理:椭圆(双曲线)——到定点的距离和定直线的距离之和(差)等于定值的点的轨迹,

抛物线——到定点的距离和定直线的距离相等的点的轨迹.

制作过程:

1.椭圆(或双曲线)的制作:

<,图4>,<,图5>,

2.抛物线的制作:

<,图6>,

三、利用参数方程构造椭圆和双曲线

作椭圆

原理:利用椭圆参数方程

制作过程:

如图(7)所示:开一个新画板,画线段AB,以A为圆心,AB为半径构造大圆C1.

<,图7>,

构造过点A与AB垂直的直线k,在直线k上取一点C,以A为圆心,以AC为半径构造小圆C2.

在大圆C1上任取一点D,构造过点D和点A的直线l,直线l与小圆C2交于E.

构造过E与AB平行的直线m.

5)构造过D与AB垂直的直线n,并构造m与n的交点F.

6)建立轨迹:同时选中点D和点F,单击<,构造/轨迹>,选项,画板显示椭圆,拖动点A或点C,可以改变椭圆的形状.

7)除了保留点A,B,C和椭圆轨迹外,隐藏其它对象.

作双曲线

原理:利用双曲线参数方程

制作过程:

打开一个新画板,单击<,图表/定义坐标系>,,建立直角坐标系,标记原点为A,单位点为B.

在x轴上取一点C,按顺序选取A,C,单击<,作图/以圆心和圆周上的点绘圆>,记为C1,同样,在y轴上取一点D,构造以A为圆心通过点D的圆C2.

在C1上取一点E(自由点),构造过A,E的直线j.

构造过E和AE垂直的直线k,并构造k与横轴的交点F.同样构造过F与x轴垂直的直线l.

构造C2与x轴正向的交点G,并构造过G与x轴垂直的直线m,交直线j于H,过H与x轴平行的直线o,交直线l于I点.

构造轨迹:同时选中点E和点I,单击<,作图/轨迹>,.隐藏不必要的对象.

说明:(1)选中I点,单击<,显示/追踪交点>,,再选中E点,单击<,编辑/操作类按钮/动画>,,并把标签改为"双曲线".隐藏除I点和坐标轴的其它对象.单击"双曲线"按钮可动态演示双曲线的形成.如图(8)所示:

<,图8>,

四、利用在极坐标系下,圆锥曲线的统一方程

原理:在极坐标系中,椭圆,抛物线,和双曲线的统一方程为:

当0<,e<,1时,方程代表椭圆,

当e等于1时,方程代表抛物线,

当e>,1时,方程代表双曲线.

制作过程:

打开一个新画板,单击<,编辑/参数选项>,,在打开的"参数选项"对话框中单击"单位",把角度选为弧度并单击"确定".

单击<,图表/定义坐标系>,,再单击<,图表/隐藏网格,标记原点为O单位点为B.如图(9)所示:

<,图9>,

画射线CD,在CD上画一点E,在极轴的反向延长线上画一点F.

度量线段CE,CD,FO的长,过F作极轴的垂线k.设PO等于p.

计算CE/CD,设CE/CD等于e.隐藏CD,CE的度量值.

画单位圆,在单位圆上画一点G.先选择点B,G,单位圆,单击<,构造/圆上的弧>,,顺序选取点B,O,G,单击<,度量/角度>,,得∠BOG的大小,设∠BOG等于θ.用线段连结O,G,选中弧BG并单击<,构造/弧内部/扇形内部>,,扇形即被着色.

计算.

先后选择计算值,角度值θ(注意顺序),并单击<,图表/绘制点>,,得到的点记为H.同时选择G,H,单击<,构造/轨迹>,,得到方程的曲线.

选中点E,单击<,编辑/操作类按钮/动画>,,弹出如图(10)所示:对话框.修改标签为"运动点E得不同的圆锥曲线".

<,图10>,<,图11>,

说明:1.拖动F可以改变参数p的大小.

2.单击"运动点E得不同的圆锥曲线",E点在射线CD上运动,当E点在CD之间运动时得椭圆,在D点时得抛物线,在D右侧得双曲线.

五、利用椭圆,抛物线和双曲线的标准方程作曲线

这里只介绍椭圆的作法,抛物线和双曲线同样可以作出.

椭圆的制作

原理:由椭圆的标准方程

制作过程:

打开一个新画板单击<,图表/定义坐标系>,,建立直角坐标系.标记原点为A.如图(12)所示:

<,图12>,<,图13>,

在x轴上取一点C,在y轴上取一点D,然后度量A,C两点的距离.选中A,C.单

击<,度量/距离>,,同样度量A,D两点的距离.分别改标签为a,b.

在x轴上取一点E,并度量其横坐标XE.

单击<,度量/计算>,,输入如图(11)所示:计算出的值,选择xE,计算值(注意顺序)单击<,图表/绘制(x,y)>,,得点F.

作轨迹:选中E,F,单击<,作图/轨迹>,,作出上半个椭圆.

双击x轴,这样把x轴标记为镜面,选中点F,单击<,变换/反射>,,得到的点为F'.然后选中E,F',单击<,作图/轨迹>,,作出下半个椭圆.

选中上半个椭圆,单击<,编辑/属性>,,得如图(13)所示对话框,并把采样数量改为5000,然后单击"确定".同样修改下半圆的属性.这样可以使椭圆的图像比较平滑.

第三部分学习几何画板的体会

计算机在数学教学中有着它的独特作用,在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段.在帮助学生系统地复习,运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式,特别它的表述的方式很灵活,可以以文字,图形,动画,电影,图表等多种方式出现.——例如:几何问题,部分物理问题,天文问题等.这是因为《几何画板》课件要遵循一定的几何关系.这也告诉我们利用《几何画板》制作课件,就要具备一定的数学知识.

总之,《几何画板》为我们创造了一个数学实验室,提供了一个理想的"做数学"的环境.使学生从传统的"听"数学转变为"做"数学,也就是以研究者的方式参与包括发现,探索在内的获得知识的全过程.具有

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