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一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性
所谓数学思想,是指人们对数学理论与内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动.所谓数学方法,是指某一数学活动过程的途径,程序,手段,它具有过程性,层次性和可操作性等特点.数学思想是数学方法的灵魂,数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段,因此,人们把它们称为数学思想方法.
小学数学教材是数学教学的显性知识系统,许多重要的法则,公式,教材中只能看到漂亮的结论,许多例题的解法,也只能看到巧妙的处理,而看不到由特殊实例的观察,试验,分析,归纳,抽象概括或探索推理的心智活动过程.因此,数学思想方法是数学教学的隐性知识系统,小学数学教学应包括显性和隐性两方面知识的教学.如果教师在教学中,仅仅依照课本的安排,沿袭着从概念,公式到例题,练习这一传统的教学过程,即使教师讲深讲透,并要求学生记住结论,掌握解题的类型和方法,这样培养出来的学生也只能是"知识型","记忆型"的,将完全背离数学教育的目标.
在认知心理学里,思想方法属于元认知范畴,它对认知活动起着监控,调节作用,对培养能力起着决定性的作用.学习数学的目的"就意味着解题"(波利亚语),解题关键在于找到合适的解题思路,数学思想方法就是帮助构建解题思路的指导思想.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,提高学生的元认知水平,是培养学生分析问题和解决问题能力的重要途径.
数学知识本身是非常重要的,但它并不是惟一的决定因素,真正对学生以后的学习,生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是数学思想方法.未来社会将需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才.21世纪国际数学教育的根本目标就是"问题解决".因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果.
小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的因素是思维素质,而数学思想方法就是增强学生数学观念,形成良好思维素质的关键.如果将学生的数学素质看作一个坐标系,那么数学知识,技能就好比横轴上的因素,而数学思想方法就是纵轴的内容.淡化或忽视数学思想方法的教学,不仅不利于学生从纵横两个维度上把握数学学科的基本结构,也必将影响其能力的发展和数学素质的提高.因此,向学生渗透一些基本的数学思想方法,是数学教学改革的新视角,是进行数学素质教育的突破口.
二、小学数学教学中应渗透哪些数学思想方法
古往今来,数学思想方法不计其数,每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花.一则由于小学生的年龄特点决定有些数学思想方法他们不易接受,二则要想把那么多的数学思想方法渗透给小学生也是不大现实的.因此,我们应该有选择地渗透一些数学思想方法.笔者认为,以下几种数学思想方法学生不但容易接受,而且对学生数学能力的提高有很好的促进作用.
1.化归思想
化归思想是把一个实际问题通过某种转化,归结为一个数学问题,把一个较复杂的问题转化,归结为一个较简单的问题.应当指出,这种化归思想不同于一般所讲的"转化","转换".它具有不可逆转的单向性.
例1狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次可向前跳41/2米,黄鼠狼每次可向前跳23/4米.它们每秒种都只跳一次.比赛途中,从起点开始,每隔123/8米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米
这是一个实际问题,但通过分析知道,当狐狸(或黄鼠狼)第一次掉进陷阱时,它所跳过的距离即是它每次所跳距离41/2(或23/4)米的整倍数,又是陷阱间隔123/8米的整倍数,也就是41/2和123/8的"最小公倍数"(或23/4和123/8的"最小公倍数").针对两种情况,再分别算出各跳了几次,确定谁先掉入陷阱,问题就基本解决了.上面的思考过程,实质上是把一个实际问题通过分析转化,归结为一个求"最小公倍数"的问题,即把一个实际问题转化,归结为一个数学问题,这种化归思想正是数学能力的表现之一.
2.数形结合思想
数形结合思想是充分利用"形"把一定的数量关系形象地表示出来.即通过作一些如线段图,树形图,长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系,使问题简明直观.
例2一杯牛奶,甲第一次喝了半杯,第二次又喝了剩下的一半,就这样每次都喝了上一次剩下的一半.甲五次一共喝了多少牛奶
附图{图}
此题若把五次所喝的牛奶加起来,即1/2+1/4+1/8+1/16+1/32就为所求,但这不是最好的解题策略.我们先画一个正方形,并假设它的面积为单位"1",由(转载自中国教育文摘edUzhai.,请保留此标记.)图可知,1-1/32就为所求,这里不但向学生渗透了数形结合思想,还向学生渗透了类比的思想.
3.变换思想
变换思想是由一种形式转变为另一种形式的思想.如解方程中的同解变换,定律,公式中的命题等价变换,几何形体中的等积变换,理解数学问题中的逆向变换等等.
例3求1/2+1/6+1/12+1/20+等+1/380的和.
仔细观察这些分母,不难发现:2等于1×2,6等于2×3,12等于3×4,20等于4×5等380等于19×20,再用拆分的方法,考虑和式中的一般项
a[,n]等于1/n×(n+1)等于1/n-1/n+1
于是,问题转换为如下求和形式:
原式等于1/1×2+1/2×3+1/3×4+1/4×5+等+1/19×20
等于(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+等+(1/19-1/20)
等于1-1/20
等于19/20
4.组合思想
组合思想是把所研究的对象进行合理的分组,并对可能出现的各种情况既不重复又不遗漏地一一求解.
例4在下面的乘法算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字,求这个算式.
从小爱数学
×4
──────
学数爱小从
分析:由于五位数乘以4的积还是五位数,所以被乘数的首位数字"从"只能是1或2,但如果"从"等于1,"学"×4的积的个位应是1,"学"无解.所以"从"等于2.
在个位上,"学"×4的积的个位是2,"学"等于3或8.但由于"学"又是积的首位数字,必须大于或等于8,所以"学"等于8.
在千位上,由于"小"×4不能再向万位进位,所以"小"等于1或0.若"小"等于0,则十位上"数"×4+3(进位)的个位是0,这不可能,所以"小"等于1.
在十位上,"数"×4+3(进位)的个位是1,推出"数"等于7.
在百位上,"爱"×4+3(进位)的个位还是"爱",且百位必须向千位进3,所以"爱"等于9.
故欲求乘法算式为
21978
×4
──────
87912
上面这种分类求解方法既不重复,又不遗漏,体现了组合思想.
此外,还有符号思想,对应思想,极限思想,集合思想等,在小学数学教学中都应注意有目的,有选择,适时地进行渗透.
三、小学数学教学应如何加强数学思想方法的渗透
1.提高渗透的自觉性
数学概念,法则,公式,性质等知识都明显地写在教材中,是有"形"的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无"形"的,并且不成体系地散见于教材各章节中.教师讲不讲,讲多讲少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个"软任务"挤掉.对于学生的要求是能领会多少算多少.因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入备课环节.其次要深入钻研教材,努力
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