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教学论文
勾股定理中的几种数学思想
单位:始兴县墨江中学
姓名:黄志周
时间:2016年7月12日
勾股定理中的几种数学思想
摘 要:数学思想就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识.在教学中重视数学思想的培养,通过对数学思想掌握,达到对数学通性,通法掌握,最终从整体上本质上掌握数学.勾股定理的应用中常见数学思想:1,化归思想,2,分类讨论思想,3,方程思想.
关 键 词:数学思想,灵魂,苏科版,勾股定理
一、在教学中重视数学思想的培养.
九年义务教育初中数学大纲提出:"初中数学的基础知识主要是初中代数和几何中的概念,法则,公式,公理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法."数学思想就是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性认识.实践证明,只有掌握了数学思想,才能真正掌握数学通性,通法,才能从整体上本质上掌握数学,才能在各类考试中取得优秀的成绩.另一方面,现在所提的义务教育指的是素质教育,而数学素质的灵魂是数学思想.它要求教师在向学生传授知识的同时,让他们接触了解一些重要的数学思想,形成良好的思维品质.
二、勾股定理应用中常见的数学思想
勾股定理是苏科版八年级数学上册第二章的内容.勾股定理是数学这座大厦的基石,是几何学的一大宝藏.勾股定理也是初中数学中的重要定理之一,它揭示了直角三角形的三边关系.勾股定理这部分内容也蕴涵着丰富的数学思想,下面举例说明如何运用这些数学思想指导我们解决有关的问题.
(一),化归思想
化归指的是转化与归结.即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察,分析,联想,类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换,转化,归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题,最终解决原问题的这种解决问题的思想分析:教材在探索股定理的过程中就利用了"割"和"补"的方法,这道题也可以利用"补"的方法求△ABC的面积.求△ABC的周长时,我们只要根据点阵运用股定理算出三边即可.
解:由勾股定理,得AB等于等于,BC等于等于,AC等于等于.
所以△ABC的周长约为9.5.
求面积时可以用如图2的"补"的方法:
S△ABC等于S矩形DECF-S△ABD-S△BCE-S△ACF
等于2×4-×3×1-×2×1-×4×1
等于3.5
点评:在教学过程中,我们应注意多为学生提供思维发展的背景材料,展示化归思想,形成自觉的化归意识,培养学生思维的创造性.多向学生传授这种化归的思想方法,这对以后学习相似问题时也有很大的用处.
(二),分类讨论思想
分类讨论思想指的是一种依据数学对象本质属性的相同点和差异,将数学对象区分为不同种
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例2,已知:在△ABC中,AB等于15,AC等于13,高AD等于12,求BC的长
分析:由于已知条件中没有给出图形,只知道AB,AC和高AD的长,没有指明高AD是在△ABC的内部还是在△ABC的外部,于是应以此为分类标准,分两种情况讨论.
解:分两种情况讨论:
(1)高AD是在△ABC的内部(如图3),在Rt△ADB和Rt△ADC中,由勾股定理,
得BD等于等于等于等于9
同理可得CD等于5,所以BC等于BD+CD等于9+5等于14.
(2)高AD是在△ABC的外部(如图4),在Rt△ADB和Rt△ACD中,由勾股定理,
得BD2等于AB2-AD2等于152-122等于81,即BD等于9.
同理CD等于5,所以BC等于BD-CD等于9-5等于4.
例3,试求有一条边为12且三边都是整数的直角三角形.
分析:这是一道分类讨论求勾股数的题目,由于不知道12到底是直角边长,还是斜边长,应以此为分类标准,故应分两种情况讨论.
解:(1)如果12为斜边长,设两直角边长分别为a,b,则由勾股定理,得a2+b2等于122,显然a,b同奇同偶.
①当a,b同为奇数时,不妨设a等于2m+1,b等于2n-1,
则a2+b2等于(2m+1)2+(2n+1)2
等于4m2+4m+1+4n2+4n+1
被4除后余2,而122被4整除,所以矛盾.
②当a,b同为偶数时,不妨设a等于2m,b等于2n,
a2+b2等于(2m)2+(2n)2等于4(m2+n2)等于122,即m2+n2等于62.
同理,m,n同为偶数,不妨设m等于2p,n等于2q
则(2p)2+(2q)2等于62.即p2+q2等于9,显然方程无整数解.所以12不可能是斜边长.
(2)如果12为直角边长,设斜边长为c,一直角边长为a,勾股定理,得c2等于122+a2,
即(c+a)(c-a)等于144,而c,a均为正整数且c>,a,
所以有,解得
所以符合条件的勾股数有12,35,37,12,16,20,9,12,15,5,12,13,共四组.
点评:在具体运用股定理解题时,应慎重考虑,以防出现漏解和错解的现象.如学生在解决例2时很容易漏掉"高AD是在△ABC的外部"这种情况,对于例3,大部分学生只会想到5,12,13这种情况,漏掉其他三种情况.
(三),方程思想
方程思想就是根据可将待求的边设为未知数,再用未知数表示出其他边,并把他们归结到某一个直角三角形中,利用勾股定理列出方程,求得未知数的值可.
例4,(苏科版八年级数学上册第111页复习题第20题)在矩形纸片ABCD中,AB等于6,BC等于8.
(1)将矩形纸片沿BD折叠,使点A落在点E处(如图5),设DE与BC相交于点F,求BF的长.
(2)将矩形纸片可折叠,使点B与点D重合(如图6),求折痕GH的长
分析:首先应弄清折叠后与折叠前图形间的关系.本题中第(1)问的图中的△EDB是△ADB关于BD的轴对称图形,因而有△EDB≌△ADB.所以有∠EDB等于∠ADB等于∠DBC,得BF等于DF,从而把条件转化到Rt△DFC中运用勾股定理求解.第二问要连接BD,交GH于点O,再将问题转化到Rt△BOH中运用勾股定理求解.
解:(1)设BF等于x,由于△EDB是△ADB翻折后得到的,所以∠EDB等于∠ADB.又因为四边形ABCD是矩形,所以AD//BC,所以∠DBC等于∠ADB,所以∠EDB等于∠ADB等于∠DBC,所以得DF等于BF等于x,则CF等于8-x,
在Rt△DFC中,由勾股定理,得:
DF2等于CF2+CD2,
即x2等于(8-x)2+62
所以x等于6.25.即BF的长为6.25.
(2)如图7,连接BD,交GH于点O由题意得GH垂直平分BD.设BH等于x,则DH等于x,CH等于8-x.
在Rt△CDH中,由勾股定理,得:
CH2+CD2等于DH2,即x2等于(8-x)2+62
所以x等于6.25.即DH等于6.25.
在Rt△BOH中,OB等于BD等于5,由勾股定理,得:
OH2等于DH2-OD2等于6.252-52等于14.0625,即OH等于3.75,
所以折痕GH的长为7.5.
点评:本例是一个应用勾股定理列出方程,再解方程的问题,在求解过程中充分体现了方程思想.以后学习到的利用根与系数关系构造方程,利用待定系数法构造方程组,都是方程思想的应用,用方程思想解决实际问题.这是解决数学问题常用的思想.
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除以上思想外,还有数形结合思想等等,教师应在课堂教学的各个环节中不失时机地把蕴含在教学内容的数学思想方法授予学生,使学生在获取知识的同时,理解和掌握并会灵活运用各种数学思想方法.
参考文献:
苏科版数学教师教学参考资料八年级(上册)江苏科学技术出版社
莫淦明,在"圆"的教学中注意传授数学思想,中学数学研究2001年第10期.
陈扬明,数学思想方法教学初探,中学数学研究1996年第10期.
华文,转化思想例说,初中生数学学习2002年第5,6期
文页,勾股定理典型分析,数学周报2006年7月25日
张羊喜,点击勾股定理,数学周报2006年8月8日
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