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#34;由形到数",用几个点的坐标找出与之相近的模拟函数,利用函数模型来解决问题.2,讨论模型
在学生独立思考的基础上,引导学生分组讨论,找出模拟函数.
学生1:一次函数:,
学生2:二次函数:,
学生3:幂函数型:,
学生4:指数函数型:.
老师:很好,课下可以再考虑还有没有哪些函数图象更逼近这条曲线.我们设月产量为万件,月份数为,建立直角坐标系,可得A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).下面同学们分成四个组,分别确定各个函数的解析式(允许用计算器),然后每组选出一位同学来板演过程,并计算出剩余点的误差.
(经过各小组学生的讨论,确定了各函数的解析式,并推选学生5,学生6,学生7,学生8分别上台板演.)
学生5:直线,将B,C两点的坐标代入,有,,解得,故.
将A,D两点的坐标代入,得,与实际误差为0.1,,与实际误差为0.03.
学生6:二次函数,将A,B,C三点的坐标代入,有
,,,解得,故.将D点的坐标代入,得,与实际误差为0.07.
学生7:幂函数型,将A,B两点的坐标代入,有,,解得.故.将C,D两点的坐标代入,得,与实际误差为0.05,,与实际误差为0.11.
学生8:指数函数型,将A,B,C三点的坐标代入,得,,,解得,,.故.将D点的坐标代入,得
,与实际误差为0.02.
3,评价模型
教师引导学生比较上述4个模拟函数的优劣,指出既要考虑到剩余点误差最小,又要考虑生产的实际问题,比如增产的趋势和可能性.经过筛选,普遍认为最佳,一是误差值最小,二是由于新建厂,开始随着工人技术,管理效益逐渐提高,一段时间内产量明显上升,但到一定时期后,设备不更新,那么产量必然要趋于稳定,而恰好反映了这种趋势,因此选用比较接近客观实际.
4,师生小结
师生一起小结了上例建模的一般过程:
(1)调查实验得出原始数据对,
(2)建立直角坐标系,描出这些点,
(3)观察图象,确定用哪种函数模型,
(4)对模型进行分析评价.
(三)练习
投影打出在顺义县经委调查得来的1993～1998年县财政收入情况:
年度199319941995199619971998收入(万元)258993050437997488986680085000(1)请建立一个数学模型,预测顺义县以后几年的财政收入情况.
(2)计算顺义县财政收入的平均年增长率.
(3)由(1),(2)分别预测1999年顺义县财政收入,并讨论哪种预测结果更有可行性,假如你是县长,将会采用哪种模型
经过师生讨论,得出二次函数,指数函数或幂函数等,由于时间关系,只要求建立两个模型.
注:"年次"中第1年即1993年,其他依此类椎.
学生9:设,将A,B,C三点的坐标代入,得
,,.
解得.计算得,,,与实际误差分别为0.05,0.51,0.71.
学生10:设,将A,B,C三点的坐标代入,得,,.解得.计算得,,,.与实际误差分别为0.13,0.33,1.76.
对两个函数模型进行评价,得较好.
对于(2),学生由1993,1998年财政收入,设平均年增长率为,有,得.
教师指出顺义县年增长率远远高于全国的年增长率8%,北京市的9%,我们应为家乡感到骄傲.能不能从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型呢
学生得到.
用和,分别预测1999年财政收入:
(亿),
(亿).
分析顺义县经济发展形势,两种预测都有可行性,但是选择比较稳妥和留有余地,所以选用较好.
(四)小结
在肯定了学生的应用意识和创造精神的基础上,归纳整理了数学建模的概念和基本程序,鼓励学生自己尝试运用数学建模的方法去解决生活和生产中的实际问题.
二,课例点评
在中学数学教学中开展数学建模的教学是一个新的尝试和探索.它是指从实际问题入手,建立数学模型,求出数学模型的解并验证模型解的全过程.把数学建模引入课堂教学,从教学目的,教学内容,教学模式,教学手段上都将会给中学数学教学改革带来新的突破,在这方面没有什么现成经验可以借鉴,需要进行多种形式的实验.
数学建模中的实际问题背景更加复杂,解答具有更大的综合性和多样性,而结论还需要进行检验和优化,带有更大的挑战性和创造性.数学建模的教学使学生走出课本,走出传统的习题演练,使他们进入生活,生产的实际中,进入一个更加开放的天地,使学生体会到数学的由来,数学的应用,体验到一个充满生命活力的教学,这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径.
茹玉兰老师这节课的教学中,按照教学进度安排在高一年级讲授幂函数,指数函数的内容以后进行,选用的实际问题经过教师加工简化,贴近教材,便于学生在建模过程中综合应用基础知识,达到巩固提高的目的,也便于通过简化的问题领会建模的过程,使数学建模带有更大的示范性.
应用意识是一种观念,要通过对学生长期的渗透和学生的自身体验才能形成,而这与学生的非智力因素密切相关.茹玉兰老师在提出问题以后,让学生转换角色,"假如你是厂长","假如你是县长",把他们置于自主解决问题的地位,带有更大的责任感,激发了解决问题的动机,调动了情感因素.教学中,对于学生建模,演算的结果,及时肯定和表扬,并采用小组合作的形式,组织学生讨论,给他们展示学习成果的机会,激发了探索精神.把培养非智力因素和智力因素有机地结合起来,使数学建模的教学注入动力机制,有利于应用意识的培养.
分析一下数学建模的过程,大致由三部分组成:
数学建模教学成功的关键是要在这个过程中引导学生深层次的参与,充分体现学生的主体地位,这就要在教学中留给学生充分的空间和时间,尤其是②,③两个过程,更多地体现着数学建模教学的特色.可以看到,要搞好数学建模教学,需要结合上述过程,对能力培养进行分解落实,提高教学的意识性.在过程①中,要培养阅读和语言转化能力,这里包括由普通语言抽象为数学文字语言,再抽象为数学符号语言.因为只有出现了符号语言的形式,才能联想和应用相应的数学结构,要培养抽象,概括能力,数学建模实质上也是一个去粗取精,去伪存真,抽象概括的过程,还要培养数学检索能力,从已有的知识中认定相应的数学模型,这与学生认知结构的好坏有关.在过程②中,不仅需要基本的数学能力,而且带有更大的综合性和灵活性,在过程③中,要培养联系实际,全面考虑问题的能力.教学中,只有对上述能力具体落实,才能取得较好的效果.茹玉兰老师在教学中已注意到这点,但还需进一步改进.
在一个数学建模的课例中,由于学生知识水平和课时的限制,不可能进行完全科学的建模过程.比如建立函数关系式由于已知点的选择不同对数学模型的影响,怎样科学地比较各个模型的优劣,怎样调整数学模型等,今后还可以进一步展开.在数学建模教学中,把课内教学与课外活动结合起来是一条值得探索的途径,它将形成一个新的教学模式,这也是我们正在研究的问题.
数学问题的模型求解
上海市田林三中陈爱华
在数学教学中,同一内容可以用不同的方法进行讲解,较为直观的方法可以启发学生进行独立地思考,培养他们的逻辑推理能力,特别是把握具体问题中数量之间的关系.数学是一门推理性很强的学科,我们不能象语文和英语等课程那样要求学生去熟记这样的规则或那样的公式,否则会使数学学习变得枯燥乏味.在我国小学年龄段的女生的数学成绩往往高于男生,但随着年龄的增长,特别是到了高中阶段她们的数学成绩却显得越来越差.究其原因,其实不在于他们的年龄,而是在于小学时代女孩子通常较为顺从,记忆力强,这就足以应付加减乘除等少量的规则和公式,然而到了初中和高中阶段,数学知识对于逻辑推理能力的要求越来越高,光靠记忆力已远远不够.有的教师常感到困惑:某某学生上一次考了90分,这一次怎么仅考了个60分,其中最为主要的原因恐怕是"公式化","规则化"的教学方法.要改变这种状况,首先要求不断更新我们的教材,其次要改变过时的教育观念,作为教师更为重要的是在教学方法上下功夫:教师应以学生为中心,采用直观的教学方法和手段,启发学生,逐步开发每一个学生的潜力,帮助他们提高分析,推理和综合能力.
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