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下面从一个具体的问题出发探讨一下中学数学教学中一个值得采用的启发式教学方法----条形图模型.

例1:小明和小刚共有苹果若干,小明的苹果数是小刚的5倍.若小明给小刚36个苹果,他们两人的苹果就一样多,间他们共有多少个苹果

这一问题可用列二元一次方程组求解,若令和分别为小明和小刚原有的苹果数,那么和满足下面的二元一次方程组:,容易解得,等于90,等于18,从而等于108,即小明和小刚共有苹果108个.

这一问题可用条形图模型求解如下:将小刚原有的苹果数视为一个单位,那么由题意,小明原有的苹果数为5个单位,由此得到模型:

2个单位→36,6个单位→36÷2×6等于108.所以小明和小刚共有108个苹果.

可见条形图可使数量之间的关系变得一目了然,然后的求解过程只涉及简单的加减乘除运算(而不是解方程或方程组).条形图方法具有:(1)简单直观,富有启发性,(2)易于反映量与量之间的关系,(3)易于反映量的变化(增加或减少)的过程,(4)易于教师讲解,特别是进行多媒体教学,(5)易于学生提高逻辑推理能力,培养他们的创造性思维能力.

下面进一步就初中数学中的几类问题分别举例说明这种模型化解题的具体应用.

一,分数问题

例2:某中学的学生是女生,其余是男生.其中的女生,的男生参加了校运动会.如果此中学共有570名学生没有参加校运动会,问学校共有多少学生

解:将学校的学生分成5个单位,则由题意,其中2个单位是女生,3个单位是男生,由此可得下面的模型:

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未参加运动会的共有1个单位+个单位等于个单位,

个单位→570,5个单位→1140.所以该学校共有1140个学生.

二,比例问题

例3:4月份小王与小李在银行的储蓄额是3:5,到了6月份小王的储蓄额增加了28元,而小李的储蓄额却减少了14元,结果他们两位的储蓄额正好相等,问小李4月份的储蓄额是多少

解:由题意,可将4月份小王和小李的储蓄额分别视为3个单位和5个单位,由此得到模型:

2个单位→(28+14)元等于42元,5个单位→42元÷2×5等于105元.所以小李的储蓄额为105元.

三,百分比问题

例4:某中学80%的学生是男生,新学期开始时,学校共增加了320名学生,男生增加了25%,而女生数正好翻一倍,问原来学校共有多少学生

解:按题意可将学校原来的女生数视为1个单位,男生数视为4个单位(5个单位的80%),由此得到模型:

2个单位→320,5个单位→320÷2×5等于800.所以学校原来共有学生800名.

四,面积问题

例5:有三个正方形X,Y,Z重叠在一起(见图).X,Y和Z的面积之比为1:2:3.正方形Y的40%被X所覆盖形成阴影,问非阴影部分占多少百分比

解:由于Y被X覆盖形成的阴影部分占整个图形的40%k,故可将阴影部分视为4个单位,再根据正方形X,Y,Z的比例可列出下面的模型:

可见整个图形被分割成为15+1等于16单位,所以非阴影部分占整个图形的×100%等于75%.

五,收益问题

例6:一商人有一台电视机,如果以原价的10%打折出售,他还可赢利150元,但如果打折30%出售,那么他要蒙受150元的损失,问电视机的成本价是多少

解:商品的价格有三种:成本价,销售价和原价之分.我们在解这类题目时经常将商品的原价视为一个单位或100%.由此根据题意我们可作出下面的模型:

30%-10%等于20%→150元+150元等于300元,100%→300元÷20×100等于1500元(通常价格).电视机的成本价等于90%×1500元-150元等于1200元(或70%×1500元+150元等于1200元).

六,行程问题

例7:两城市A和B之间的距离为210公里.上午8点30分有一辆轿车以平均速度60公里/小时从A出发驶向B,同时另有一辆公共汽车以平均速度45公里/小时从B出发驶向A,问当轿车与公共汽车相遇时,公共汽车行驶了多少路程

解:公共汽车与轿车所行驶的距离之比等于两者的速度之比,即60:45等于4:3,因此我们可将A到B的整个路程分7个单位,进而得到下面的模型:

4个单位+3个单位等于7个单位→210公里,3个单位→210公里÷7×3等于90公里.所以当轿车与公共汽车相遇时公共汽车行驶了90公里.

上面的几类问题均可用设求未知数列方程的方式求解,例如上面的例2至例5可用一元一次方程求解,例6和例7可用二元一次方程组求解,请读者自己完成.

数学建模与初中数学教学

----谈初一年级浓度问题的教学体会

福建省安溪县第六中学(362400)谢俊民

20世纪以来,科学技术得到了飞速发展,数学在这个发展过程中起了非常重大的作用.今天,社会对数学的需求并不只是需要数学家,而是大量善于运用数学知识和数学的思维方法来解决实际问题的各种人才,把实际问题化成一个数学问题,这就称为数学模型.数学模型不同于一般的模型,它是用数学语言模拟现实的一种模型,即把一个实际问题中某些事物的主要特征,主要关系抽象成数学语言,近似地反映客观事物的内在联系与变化过程.

列方程解浓度问题作为分数,百分数问题的实际应用题,不仅在工农业生产中经常碰到,而且在以后学习等比数列,指数方程的课程也常涉及,学生对理解和掌握这部分内容历来都比较困难,是初一年级数学的难点之一.本文拟就我在多年来的教学中,如何利用数学建模来突破初一年级浓度应用题这一难点教材的一些做法和体会.

一,建立数学模型,讲清浓度问题的概念和关系

在初一年级数学的教学中,针对初一年级学生年龄小,抽象思维能力较弱的特点,采用直观演示的教学,建立数学模型,讲清溶液,溶质,溶剂及浓度四个名词概念及其两个关系式.课前准备一只装有90克水的玻璃杯和一只装有10克食盐的玻璃杯,上课时把90克的水倒入装有10克食盐的玻璃杯中均匀搅拌后得到盐水100克.在这个问题中,引导学生建立数学模型:溶液----100克盐水,溶质----10克食盐,溶剂----90克水,浓度----盐水中含盐的百分数(10%).再引导学生建立它们之间的两个关系的数学模型:

(1)溶液(盐水)重量等于溶质(盐)重量+溶剂(水)重量.

(2).

又例如:浓度为75%的酒精溶液克中,含纯酒精多少克含水多少克

这个问题采用上面的数学模型,学生就可以得到:溶液----酒精溶液,溶质----纯酒精,溶剂----水.

纯酒精重量(溶质)等于酒精溶液重量×浓度等于×75%等于75%(克).

水重量(溶剂)等于酒精溶液重量-纯酒精重量(溶质)等于(-75%)克.

二,建立数学模型,寻找解题钥匙

在教学过程中,根据各种题型的解题过程中,启发引导学生,通过观察,分析,弄清混合前后溶液,溶质,溶剂和浓度哪些量发生变化,哪些量没有发生变化.然后引导学生紧紧抓住一个关键性相等关系建立数学模型:

混合前溶质的重量等于混合后溶质的重量

同时,强调它是解决浓度问题的一把共同钥匙,不管题型如何变化,只要抓住这把钥匙总可以列方程解出应用题,下面就浓度问题的三种类型分别作如下讲解:

1,稀释问题

例1:要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水,需要加水多少克