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方程:,,解这个指数方程,
.找出一层制约关系,讨论出要将钉全部敲入木板,钉第一次被敲入木板深度必须满足的条件.∵对数的真数必须大于0,∴(8)式中应满足,∴.
从上看出,此题的难度不在于物理知识,而是在数学应用上要"过五关,斩六将".
以上仅是我们几年来开展中学数学建模教学的一些做法,远未达到完善的程度,希广大同行不吝赐教.
江苏省邳州市陆井中学袁银宗
解决简单的实际问题是大纲规定的教学目的之一,数学建模就是将具有实际意义的应用题,通过数学抽象转化为数学模型,以求得问题的解决.选取若干范例,对其建模类型略陈管见,供参考.
一,建立几何模型诸如工程定位,边角余料加工,拱桥计算,皮带传动,修复破残轮片,跑道的设计与计算等应用问题,涉及一定图形的性质常需建立几何模型,转化为几何问题求解.
例1如图1,足球赛中,一球员带球沿直线l逼近球门AB,他应在什么地方起脚射门最为有利
分析这是几何定位问题,根据常识,起脚射门的最佳位置P应该是直线l上对AB张角最大的点,此时进球的可能性最大,问题转化为在直线l上求点P.使∠APB最大.为此,过AB两点作圆与直线l相切,切点P即为所求.当直线l垂直线段AB时,易知P点离球门越近,起脚射门越有利.可见"临门一脚"的功夫理应包括选取起脚射门的最佳位置.
二,建立三角模型对测高,测距,航海,燕尾槽,拦水坝,人字架的计算等应用问题,则可建立三角模型,转化为解三角形问题.
例2海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°,航行12海里到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°.如果渔船不改变航向,继续向东捕捞,有没有触礁的危险
简析根据题意作出如图2的示意图,继续航行能否触礁,就是比较AC与8的大小.问题转化为解直角三角形,求AC的长.
AC
对这类问题中涉及到的测量专用名词的含义及测量仪器的使用,教学中应予以重视.
三,建立方程模型对现实生活中广泛存ࢷ
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例3某家俱的标价为132元,若降价为9折出售即优惠10%),仍可获利10%(相对于进资价).求该家俱的进货价. 简析设该家惧的进货价为x元.则问题转化为求方程
例4如图3(1),在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向一条横向且横向与纵向互相垂直).把耕地分成大小相等的六块作实验田,要使实验地面积为570m2,问道路应为多宽(1997年安徽省中考题)
简析如图3(2).作整体思考,设道路的宽为xm,则问题转化为求方程(20-x)(32-2x)等于570的解,解得x1等于1,x2等于35(不合题意,舍去).
上述三种建模类型是初中教材中涉及最多的,也是学生感知最为丰富的现实原型.
四,建立直角坐标系模型当变量的变化具有(近似)函数关系,或物体运动的轨迹具有某种规律时,可通过建立平面直角坐标系,转化为函数图象问题求解.
例5在如图4所示的自动喷灌设备中,喷出的水流呈现抛物线状.设水管AB高出地面1.5米.水流最高点C比喷头B高2米,且与B点连线夹角与水平面成45°,求水流落地点到A点的距离.
简析因水流路线是抛物线,可建立如图4所示的平面直角坐标系,问题转化为求抛物线与x轴交点的横坐标.由已知条件可求得抛物
对于飞机投物,打炮射击,投篮,平抛等问题,其物体运动的轨迹都是抛物线,往往可转化为二次函数图象问题去解决.当变量之间具有线性关系时,则可转化为直线或平面区域问题去解决.五,建立目标函数模型对于现实生活中普遍存在的最优化问题,如造价用料最少,利润产出最大等,可透过实际背景,建立变量之间的目标函数,转化为函数极值问题.
例6某商店如将进货价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出最大利润.
简析设每件售价提高x元,则每件得利润(2+x)元,每天销售量变为(200-20x)件,所获利润y等于(2+x)(200-20x)等于-20(x-4)2+720.故当x等于4时,即售价定为14元时,每天可获最大利润720元.
函数关系是普遍存在的,所呈现的函数关系也并非都是二次的.因此建立目标函数模型的应用十分广泛.
六,建立不等式模型在市场经营,生产决策和社会生活中,如估计生产数量,核定价格范围,盈亏平衡分析,投资决策等,则可挖掘实际问题所隐含的数量关系,转化为不等式(组)的求解或目标函数在闭区间的最值问题.
例7某工厂生产的产品每件单价是80元,直接生产成本是60元,该工厂每月其它总开支是50000元.如果该工厂计划每月至少要获得200000元利润,假定生产的全部产品都能卖出,问每月的生产量应是多少
简析设每月生产x件产品,则总收入为80x,直接生产成本为60x,每月利润为80x-60x-50000等于20x-50000.问题转化为求不等式20x-50000≥200000的解.解得x≥12500(件).
数学建模问题是用数学知识和数学方法解决实际生活中各种各样的问题,是一种创造性的劳动,涉及到各种心理活动,心理学研究表明,良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件,它主要包括以下要素:(1)自觉的创新意识,(2)强烈的好奇心和求知欲,(3)积极,稳定的情感,(4)顽强的毅力,(5)独立的个性,(6)强烈而明确的价值观,(7)有效的组织知识.许多学生由于不具备以上良好的心理品质,因而对解决实际问题信心不足.
2,对实际问题中一些名词术语不熟悉
由于数学应用题中往往有许多其它知识领域的名词术语,而学生从小到大一直生长在学校中,与外界接触较少,对这些名词术语感到很陌生,不知其意,从而也就无法读懂题,正确理解题意.比如实际生活中的利率,利润,打几折,保险金,保险费,纳税率,折旧率等概念,这些基本概念的意思都没搞懂,那么,涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解题意,更谈不上解决问题.
例如:陈某计划向银行贷款10万元购车,计划用四年时间逐月等额归还,请你根据"购车贷款年期利率一览表,计算陈某从月初贷款到次月初开始还款,每月还款数目.
购车贷款年期利率一览表:
贷款年期利率1年5.85℅2—3年5.94℅4—5年6.03℅本问题涉及到学生不太熟悉的名词术语有:贷款,购车贷款年期利率一览表,利率,月利率,若让学生自己到银行调查,把这些名词的意思完全弄明白后,教师再分析讲解,学生就易搞懂了,同时也充分显示了用数学知识解决实际问题的合理性.
3,对实际问题中庞杂数据的处理缺乏适当的方法
许多实际问题中,涉及到的数据多且杂乱,学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手,不知该把哪个数据作为思维的起点,从而找不到解决问题的突破口.
例:在车站开始检票时,有a(a>,0)名旅客在候车室排队等候进站.检票开始后,仍有旅客来排队进站.设旅客按固定的速度增加,检票口的速度也是固定的.若开一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕,若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候的旅客全部检票完毕,如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以使后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口
在此问题中,涉及到的量有:原有旅客a名,旅客增加的速度固定,检票口的速度固定,开1个检票口检票时间30分钟.开2个检票口检票时间10分钟,开若干个检票口检票时间5分钟以内.在这诸多的量中,到底从哪个具体的量入手解决问题如何正确去用这些已知量解决问题,许多学生是一片茫然.
4,对实际问题转释为数学问题缺乏经验
数学模式呈现的形式是多种多样的,有的以函数显示,有的以方程显示,有的以图形显示,有的以不等式显示,有的以概率统计显示.当然,还有其它各种形式的模型,具体到一个实际问题来讲,判断这个实际问题与哪类数学知识相关,用什么样的数学方法解决问题,是学生深感困难的一个环节.
例如:1992年初某一万人口的贫困地区为了脱贫致富奔小康,该地区政府把人口增长率控制为2℅,并
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