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我们会讨论一些具体问题,挺有意思.比如估计,它是本次课程改革特别加强的内容.小学阶段,大家比较认同地把"估计"分为3种类型:计算"估计"(简称为估算),测量"估计"(简称为估测)和数量"估计"(简称为估数).我们可以看出,它们是依据"估计"对象和内容的不同划分的.但是从数学的角度看,这3种"估计"类型拥有共同的特点,例如:都需要首先确定数量级(或单位),结果的正确与否都需要评价者给定误差范围才能确定,结果的正确与否与实际情境密切相关等.所以这样的分类对估计的数学内涵的认识没什么实质的帮助.在"估计"的数学本质没有阐述清楚之前,就想讨论估计的策略！技巧等可能意义不大.我们不妨结合实际案例来分析,如我们常常见到这样的题目:估算24.82×48的结果.但是这样的估算题目并没有对结果的误差范围作要求,所以我们可以进行以下几种"估计":一是利用四舍五人法取近似数,把原算式变为20×50,从而估计出结果的数量级为103,二是将24.82和48都往大估,把原算式变为30×50确定出巧1500是原计算结果的一个上界,再将24.82和48都往小估,把原算式变为20×40确定出800是原计算结果的一个下界,这样就确定出原计算结果在800到1500这个区间中.我们还可以在此基础上,不断缩小误差范围,求得更佳近似值.再如要估计一座15层楼的高度约是多少米,可以以自己的身高为基准量,估计出每一层的楼高约是多少倍的身高,再推测整个楼的高.这里最重要的是选定"估计"的单位,这些单位可以是科学中已经规定好的单位,如"厘米,千克"等,也可以是自己规定的单位,如刚才我们把自己的身高当作基准量.从上面分析可以看出,"估计"中包含的数学内涵有"界,单位,数量级,误差与近似",而这些则是我们从小学到大学的数学学习中反复出现,贯穿始终的数学思想和方法.显然从这4个不同维度再去审视估计,比"估数,估算,估测"更能反映数学的本质.施:您的分析让我们很受启发！很多时候由于我们自身数学修养的欠缺,不能站在更高的层次来审视小学数学.可能我们最急需的还是加强学习,您能给我们提些建议吗
王:我觉得单纯的学习不一定有效.不少老师有这样的经验:上大学学了高等数学,忘了中小学数学,回到中小学又彻底忘了高等数学.关键还在于深度的思考,从整体上去把握数学课程.我让我的学生思考,在小学(或中学)数学里,最重要的是什么有哪些主线我和学生有这样的共识:凡是反复出现的必然是重要的.我们要清楚,教材呈现的是线性序,但孩子的认识不一定是线性序.比如,四则运算,教材呈现的是加,减,乘,除的顺序,但是一定要学了加法后才能学减法吗减法也可以由"倒着数数"过来.多一些这样基础性的思考,就多了讲道理的可能.再如,教材都是先安排字母表示数,然后才有方程,但是不学字母表示数就不能学方程吗我并非要抹杀字母符号的作用,或说教材必须调整顺序,我想如果能换一个角度思考,你可能更容易发现孩子代数思维的萌芽并加以适当的引导.
如何引导学生触摸数学的本质
施:您从具体数学知识中谈应突出的数学本质,很亲切.而把对数学的认识转化成实践智慧又是很重要的一环.您可否也结合案例,从数学的角度,对我们教学的实施给出一些具体的分析和建议呢
王:就从颇有争议的"鸡兔同笼"说起,如何
案例:
问题:1支铅笔4元,1支钢笔7元.用46元正好买了10支笔,怎么买
方法1尝试调整:
生:我先试试吧.看看买5支钢笔和5支铅笔要多少钱.5×7+5×4等于55(元)钱不够了,这么买不行.
师:钱为什么不够了看来是什么买多了
生:钢笔买多了.
师:为什么钢笔买多了,钱就多了
生:因为钢笔贵.
师:那么下一步该怎么办应朝哪二个方向试
生:钢笔少买些,看看4支钢笔,6支铅笔行不行.4支钢笔,6支铅笔共52元,还比46元多.钢笔还应再少一些.试1支钢笔9支铅笔共43元,钱比46元少了.
师:这么看来,正确的结果一定在哪里为什么
生:等
方法2穷举列表,方法3假设推理,方法4代数方程(略)
王:4种不同的方法,其反映的数学本质不相同,在以后的数学学习中作用也各不相同.
我曾经在北京,天津两地做讲座时询问过老师,结果小学老师有95%以上喜欢假设法,初中老师则100%喜欢方程.方法1和方法2因为繁琐原始,不够高级而让大家不屑.而如果跳出中小学数学来看,方法1和方法2有着非常重要的价值.
尝试是数学里解决问题的基本思路,在中小学可举出大量依赖尝试解决的例子.比如,减法是加法的逆运算,我们都是学会了加法才学减法,求15一8等于我们会想8+等于15.通常我们的教法是强化加法,加法练得极其熟练,熟到看8+等于15就能脱口而出7的程度.实际上这个问题完全可以让学生去尝试.我可以先试着8+(10)等于18,结果比15多,说明加10加多了,那么再试着加一个小一点数,8+(5)等于13,结果小了,由此一定能确定要加的数一定在5和10之间样就可以缩小范围再试,经过有限次的尝试,一定能找到结果.这个过程比纯粹为了记住一个得数的训练要有意义得多,学生对加法的一个最基本的性质有了体验,即加得越多,结果就越多.不提函数思想,也不用说单调性,这不就是具体的渗透吗
施:尝试还能用在其他领域吗
王:再如求不规则图形的面积,可用方格纸覆盖分别求出过剩近似值和不足近似值,不断地细分方格,就能越加准确,这个过程也是尝试.再往后,解微分方程都是试,可以说从微积分往后,只要是需要算出值的问题,一定需要尝试.尝试可以说是数学上最重要也最基本的方法,它突出的是极限,逼近的数学思想.
施:那么穷举法的价值又体现在何处
王:穷举列表也是重要的,因为它的背后就是分类.分类列举的过程是有道理的:又有铅笔又有钢笔,先定铅笔,再定钢笔.也就是说有两个决定因素时,先定一个,再定另一个,这与所谓的代人消元,其实是一回事.定铅笔时,从0数到10,又可以加深学生对自然数的理解.学生有了思路之后,引导他们列表表示,这很重要,把数学里的一个东西怎么表达清楚,这也是很重要的一件事.
施:假设法一直是小学里非常推崇的一种方法,它的本质体现在何处为什么说它有局限性
王:假设法把道理讲清楚,可以促进学生对除法中对应关系的理解,1支钢笔比1支铅笔贵3元,一共多了几个3元,就要少用几支钢笔.但假设法有它的局限性,如果说方程可以解决一批问题,那么假设法实际只能解决形如x+y等于c1,ax+by等于c2这样的方程组解决的一小类问题.从这个意义上说,尝试,列表,方程等方法应该是我们重点关注的通性通法,而方程可能不易被学生理解,所以一方面借助生活(具体的文字表示的数量)降低其难度,另一方面在孩子没到这个水平时千万不要强加,我想在小学高年级有可能实现.
施:实际教学中,不见得各种方法都呈现,而是要视学生的生成而定.
王:这一点很重要,应该尊重学生的想法,是在学生自然产生的朴素想法上的提升"无论是哪种方法,都要讲道理,但道理只要达到学生认知上能触及的严格就可以.基于学生自己的认识,又突出数学本质的方法,学生就能讲出道理来,这样的方法才真正留得住并具有生长性.
标题:小学数学第五次作业发布者:小学数学专家(发布时间:2016-3-2316:58:19)内容:问题解决教学中,您有哪些好的策略请举例说明.
提交者:高鹏(提交时间:2016&#
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