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漫谈小学数学思想及其在教学中的渗透

杭州市天杭小学潘江儿

摘 要:数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括,在后继的认识活动中被反复证实其正确性,带有一般意义和相对稳定的特征.在小学数学教育中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法是提高学生数学能力和思维品质的重要手段,是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题,解决问题能力的重要思维活动,且它本身也蕴涵了情感素养的熏染.这点也是新课程标准充分强调的.

关 键 词:数学思想,渗透,符号思想,类比思想,分类思想,方程与函数思想,建模思想.

数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括,在后继的认识活动中被反复证实其正确性,带有一般意义和相对稳定的特征.它揭示了数学发展中普遍的规律,对数学的发展起着指引方向的作用,它直接支配着数学的实践活动,是数学的灵魂.而数学方法则体现了数学思想,在自然辩证法一书的导言中,恩格斯叙述了笛卡儿制定了解析几何,耐普尔制定了对数,来布尼茨和牛顿制定了微积分后指出:"最重要的数学方法基本上被确定了",对数学而言,可以说最重要的数学思想也基本上被确定了.

《九年制义务教育全日制小学数学课程标准》(试验稿)提出:"学生通过学习,能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法."因此,在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念,公式,定理,定律的理解,是提高学生数学能力和思维品质的重要手段,是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题,解决问题能力的重要途径,也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在.在小学阶段,数学思想主要有符号思想,类比思想,分类思想,方程与函数思想,建模思想等.

一、符号思想

西方较早地在数学研究中引进了符号,十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进,并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数,未知数及其乘幂,带来了代数学研究的重大拓展,奠定了符号代数的基础,后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进.用符号化的语言(包括字母,数字,图形和各种特定的符号)来描述数学的内容,这就是符号思想.在数学中各种量的关系,量的变化以及量与量之间进行推导和演算,都是用小小的字母表示数,以符号的浓缩形式来表达大量的信息,如乘法分配律(a+b)×c等于a×c+b×c,这里的a,b,c不仅可以表示1,2,3,也可以表示4,5,6,7等长方形的面积计算公式s等于a×b,不管世界上有多少个不同的长方形,都可用它计算出来.又如在"有余数的除法"教学中,最后出现一道思考题:"六一"联欢会上,小明按照3个红气球,2个黄气球,1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室.你能知道第24个气球是什么颜色的吗解决这个问题,学生可以有多种方法.如,用书写简便的字母a,b,c分别表示红,黄,蓝气球,则按照题意可以转化成如下符号形式:aaabbcaaabbcaaabbc等从而可以直观地找出气球的排列规律,并推出第24个气球是蓝色的.

上例所分析的这些都是符号思想的具体体现,它们将所有的数据实例集为一体,把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来,便于记忆,便于运用,正如华罗庚所说的"数学的特点是抽象,正因为如此,用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性".这种用符号来体现的数学语言是世界性语言,是一个人数学素养的综合反映.

把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式,有一个从具体到表象再抽象符号化的过程,小学生在数学学习中,从接受到运用会遇到较多的困难,需要教师在平时地教学中,从介绍字母使用的历史入手,循循善诱,加强培养和训练.

二、类比思想

数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性,有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想,它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题.就迁移过程来分,有些类比十分明显,直接,比较简单,如由加法交换律a+b等于b+a的学习迁移到乘法分配律a×b等于b×a的学习,而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现,比较复杂.

例如有这么一道数学奥林匹克竞赛题:某科学考察组进行科学考察,要越过一座山.上午8时上山,每小时行3千米,到达山顶时休息1小时.下山时,每小时行5千米,下午2时到达山底.全程共行了19千米.上山和下山的路程各是多少千米分析:此题表面上看似一道行程问题,但实质上只不过是一道典型的"鸡兔同笼"问题的变化题型.其特征是:

(1)已知两种事物的单值:上山速度为3千米,下山速度为5千米.

(2)已知这两种不同事物的总个数:除去休息1小时的5小时,全程19千米.

(3)要求的是这两种不同事物的个数:上山和下山的时间各是多少可见此题的解答方法与"鸡兔同笼"问题的解答方法完全相同.假设5小时都是上山时间,则共走路程为3×5等于15(千米),比实际走的19千米少了19-15等于4(千米),原因是由于把下山时间也当作了上山时间,则下山时间为4÷(5-3)等于2(小时).从而可以推出下山路程是5×2等于10(千米),上山路程是19-10等于9(千米).当然我们也可以假设5小时都是下山时间来类推求解.数学中所有公式定理的运用就是类比思想的直接反映.

目前,小学数学教材中类比思想的内容很多,杂志上发表得较多的某些定理,问题的延伸,推论,拓广也是类比思想的反映,这就要求教师去发掘去实施,如长方形的面积公式为长×宽等于a×b,通过类比,三角形的面积公式也可以理解为长(底)×宽(高)÷2等于a×b(h)÷2.类似的,圆柱体体积公式为底面积×高,那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷.类比思想不仅使数学知识容易理解,而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁,从而可以激发起学生的创造力,正如数学家波利亚所说:"我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身,它们是获得发现的伟大源泉."

三、分类思想

数学中每一个概念都有其特有的本质特征,它又是按照一定的规律扩展变化的,它们之间都存在着质变到量变的关系.要正确的认识这些概念,就需要具体的概念依据具体的标准具体分析,这就是数学的分类思想,是指按某种标准,将研究地数学对象分成若干部分进行分析研究.

一般我们分类时要求满足互斥,无遗漏,最简便的原则.如整数以能否被2整除为例,可分为奇数和偶数,若以自然数的约数个数来分类,则可分为质数,合数和1.几何图形中的分类更常见,如学习"角的分类"时,涉及到许多概念,而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律.其中几种角是按照度数的大小,从量变到质变来分类的,由此推理到在三角形中以最大一个角大于,等于和小于90°为分类标准,可分为钝角三角形,直角三角形和锐角三角形.而三角形以边的长短关系为分类标准,又可分为不等边三角形和等边三角形,等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形.不同的分类标准会有不同的分类结果,从而产生新的数学概念和数学知识的结构.由于分类讨论,一则在学习数学的过程中,学生潜移默化地受到了

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