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的频率定义是不够严谨的.A.H.柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义.

概率的严格定义

设E是随机试验,S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率.这里P(·)是一个集合函数,P(·)要满足下列条件:

(1)非负性:对于每一个事件A,有P(A)≥0,

(2)规范性:对于必然事件S,有P(S)等于1,

(3)可列可加性:设A1,A2等是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj等于φ,(i,j等于1,2等),则有P(A1∪A2∪等)等于P(A1)+P(A2)+等

概率的古典定义

如果一个试验满足两条:

(1)试验只有有限个基本结果,

(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的.

这样的试验,成为古典试验.

对于古典试验中的事件A,它的概率定义为:

P(A)等于m/n,n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目.m表示事件A包含的试验基本结果数.这种定义概率的方法称为概率的古典定义.

概率的统计定义

在一定条件下,重复做n次试验,nA为n次试验中事件A发生的次数,如果随着n逐渐增大,频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近,则数值p称为事件A在该条件下发生的概率,记做P(A)等于p.这个定义成为概率的统计定义.

在历史上,第一个对"当试验次数n逐渐增大,频率nA稳定在其概率p上"这一论断给以严格的意义和数学证明的是早期概率论史上最重要的学者雅各布·伯努利(JocobBernoulli,公元1654年～1705年).

从概率的统计定义可以看到,数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标.

由于频率nA/n总是介于0和1之间,从概率的统计定义可知,对任意事件A,皆有0≤P(A)≤1,P(Ω)等于1,P(Φ)等于0.

Ω,Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件).

【生活中的实例】

普遍认为,人们对将要发生的机率总有一种不好的感觉,或者说不安全感,俗称「点背」,下面列出的几个例子可以形象描述人们有时对机率存在的错误的认识:

1.六合彩:在六合彩(49选6)中,一共有13983816种可能性(参阅组合数学),普遍认为,如果每周都买一个不相同的号,最晚可以在13983816/52(周)等于268919年後获得头等奖.事实上这种理解是错误的,因为每次中奖的机率是相等的,中奖的可能性并不会因为时间的推移而变大.

2.生日悖论:在一个足球场上有23个人(2×11个运动员和1个裁判员),不可思议的是,在这23人当中至少有两个人的生日是在同一天的机率要大於50%.

3.轮盘游戏:在游戏中玩家普遍认为,在连续出现多次红色後,出现黑色的机率会越来越大.这种判断也是错误的,即出现黑色的机率每次是相等的,因为球本身并没有「记忆」,它不会意识到以前都发生了什麽,其机率始终是18/37.

4.三门问题:在电视台举办的猜隐藏在门後面的汽车的游戏节目中,在参赛者的对面有三扇关闭的门,其中只有一扇门的後面有一辆汽车,其它两扇门後是山羊.游戏规则是,参赛者先选择一扇他认为其後面有汽车的门,但是这扇门仍保持关闭状态,紧接着主持人打开没有被参赛者选择的另外两扇门中後面有山羊的一扇门,这时主持人问参赛者,要不要改变主意,选择另一扇门,以使得赢得汽车的机率更大一些正确结果是,如果此时参赛者改变主意而选择另一扇关闭着的门,他赢得汽车的机率会增加一倍.

【概率的两大类别】

古典概率相关

古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形,即基本空间由有限个元素或基本事件组成,其个数记为n,每个基本事件发生的可能性是相同的.若事件A包含m个基本事件,则定义事件A发生的概率为p(A)等于m/n,也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数,这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义,或称之为概率的古典定义.历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的.计算古典概率,可以用穷举法列出所有基本事件,再数清一个事件所含的基本事件个数相除,即借助组合计算可以简化计算过程.

几何概率相关

集合概率若随机试验中的基本事件有无穷多个,且每个基本事件发生是等可能的,这时就不能使用古典概率,于是产生了几何概率.几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应,利用几何区域的度量来计算事件发生的概率,布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子.

在概率论发展的早期,人们就注意到古典概率仅考虑试验结果只有有限个的情况是不够的,还必须考虑试验结果是无限个的情况.为此可把无限个试验结果用欧式空间的某一区域S表示,其试验结果具有所谓"均匀分布"的性质,关于"均匀分布"的精确定义类似于古典概率中"等可能"只一概念.假设区域S以及其中任何可能出现的小区域A都是可以度量的,其度量的大小分别用μ(S)和μ(A)表示.如一维空间的长度,二维空间的面积,三维空间的体积等.并且假定这种度量具有如长度一样的各种性质,如度量的非负性,可加性等.

◆几何概率的严格定义

设某一事件A(也是S中的某一区域),S包含A,它的量度大小为μ(A),若以P(A)表示事件A发生的概率,考虑到"均匀分布"性,事件A发生的概率取为:P(A)等于μ(A)/μ(S),这样计算的概率称为几何概率.

◆若Φ是不可能事件,即Φ为Ω中的空的区域,其量度大小为0,故其概率P(Φ)等于0.

【必然事件与不可能事件】

在一个特定的随机试验中,称每一可能出现的结果为一个基本事件,全体基本事件的集合称为基本空间.随机事件(简称事件)是由某些基本事件组成的,例如,在连续掷两次骰子的随机试验中,用Z,Y分别表示第一次和第二次出现的点数,Z和Y可以取值1,2,3,4,5,6,每一点(Z,Y)表示一个基本事件,因而基本空间包含36个元素."点数之和为2"是一事件,它是由一个基本事件(1,1)组成,可用集合{(1,1)}表示"点数之和为4"也是一事件,它由(1,3),(2,2),(3,1)3个基本事件组成,可用集合{(1,3),(3,1),(2,2)}表示.如果把"点数之和为1"也看成事件,则它是一个不包含任何基本事件的事件,称为不可能事件.在试验中此事件不可能发生.如果把"点数之和小于40"看成一事件,它包含所有基本事件,在试验中此事件一定发生,所以称为必然事件.若A是一事件,则"事件A不发生"也是一个事件,称为事件A的对立事件.实际生活中需要对各种各样的事件及其相互关系,基本空间中元素所组成的各种子集及其相互关系等进行研究.

【概率的性质】

性质1.P(Φ)等于0.

性质2(有限可加性).当n个事件A1,等,An两两互不相容时:P(A1∪...∪An)等于P(A1)+...+P(An).

性质3.对于任意一个事件A:P(A)等于1-P(非A).

性质4.当事件A,B满足A包含于B时:P(B-A)等于P(B)-P(A),P(A)≤P(B).

性质5.对于任意一个事件A,P(A)≤1.

性质6.对任意两个事件A和B,P(B-A)等于P(B)-P(AB).

性质7(加法公式).对任意两个事件A和B,P(A∪B)等于P(A)+P(B)-p(AB).

(注:A后的数字1,2,...,n都表示下标.)

勾股定理

在初二我们将初步学习勾股定理.

勾股定理又叫商高定理,毕氏定理,或称毕达哥拉斯定理(PythagorasTheorem).