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等于c的平方,,即α*α+b*b等于c*c

推广:把指数改为n时,等号变为小于号

据考证,人类对这条定理的认识,少说也超过4000年

勾股数:是指能组成a^+b^等于c^的三个正整数称为勾股数.

实际上,在更早期的人类活动中,人们就已经认识到这一定理的某些特例.除上述两个例子外,据说古埃及人也曾利用"勾三股四弦五"的法则来确定直角.但是,这一传说引起过许多数学史家的怀疑.比如说,美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出:"我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理.我们知道他们有拉绳人(测量员),但所传他们在绳上打结,把全长分成长度为3,4,5的三段,然后用来形成直角三角形之说,则从未在任何文件上得证实."不过,考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书,据专家们考证,其中一块上面刻有如下问题:"一根长度为30个单位的棍子直立在墙上,当其上端滑下6个单位时,请问其下端离开墙角有多远"这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子,专家们还发现,在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表,表中共刻有四列十五行数字,这是一个勾股数表:最右边一列为从1到15的序号,而左边三列则分别是股,勾,弦的数值,一共记载着15组勾股数.这说明,勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库.

勾股定理的应用非常广泛.我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载:"禹治洪水决流江河,望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,使注东海,无漫溺之患,此勾股之所系生也."这段话的意思是说:大禹为了治理洪水,使不决流江河,根据地势高低,决定水流走向,因势利导,使洪水注入海中,不再有大水漫溺的灾害,是应用勾股定理的结果.

勾股定理是几何学中的明珠,它充满魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有着名的数学家,画家,也有业余数学爱好者,有普通的老百姓,也有尊贵的政要权贵,甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单又实用,更容易吸引人,才使它成百次地反复被人炒作,反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑,其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止于此,有资料表明,关于勾股定理的证明方法已有500余种,仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.(※关于勾股定理的详细证明,由于证明过程较为繁杂,不予收录.)

人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广.

欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理:"直角三角形斜边上的一个直边形,其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和".

从上面这一定理可以推出下面的定理:"以直角三角形的三边为直径作圆,则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和".

勾股定理还可以推广到空间:以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体,则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.

若以直角三角形的三边为直径分别作球,则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和.

如此等等.

勾股定理的证明方法

【证法1】(传说中毕达哥拉斯的证明)

图1图2

如图所示,作8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,再做三个边长分别为a,b,c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.

从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即

,整理得.

【证法2】(邹元治证明)

以a,b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图2所示形状,使A,E,B三点在一条直线上,B,F,C三点在一条直线上,C,G,D三点在一条直线上.四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.四边形ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于.

∴.∴.

【证法3】(赵爽证明)

以a,b为直角边(b>,a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图(下页)所示形状.ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.

∴.

图3图4

【证法4】(Garfield证明)

以a,b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A,E,B三点在一条直线上.则ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于.ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.

∴∴.

【证法5】(马永庆证明方法1)

对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°得图5,该图是旋转90°得到的,所以∠BAE等于90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于Rt⊿BAE和Rt⊿BFE的面积之和,所以:

S正方形ACFD等于S⊿BAE+S⊿BFE

即:.

整理:

∴a2+b2等于c2.

图5图6

【证法6】(马永庆证明方法2)

对任意的符合条件的两个全等的Rt⊿BEA和Rt⊿ACD拼成图6(此图也可以看成Rt⊿BEA绕其直角顶点顺时针旋转90°,再向下平移得到).一方面,四边形ABCD的面积等于⊿ABC和Rt⊿ACD的面积之和,另一方面,四边形ABCD的面积等于Rt⊿ABD和⊿BCD的面积之和,所以:S⊿ABC+S⊿ACD等于S⊿ABD+S⊿BCD

即:.

整理:

∴a2+b2等于c2.

黄金分割点

(goldensectionratio)

【基本定义】

在分割时.在长度为全长的约0.618处进行分割.就叫作黄金分割.这个分割点就叫做黄金分割点

把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其比值是一个无理数,用分数表示为(√5-1)/2,取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽,因此称为黄金分割,也称为中外比.这是一个十分有趣的数字,我们以0.618来近似表示,通过简单的计算就可以发现:

1/0.618等于1.618

(1-0.618)/0.618等于0.618

【黄金分割的举例与应用】

这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画,雕塑,音乐,建筑等艺术领域,而且在管理,工程设计等方面也有着不可忽视的作用.

让我们首先从一个数列开始,它的前面几个数是:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144等..这个数列的名字叫做"菲波那契数列",这些数被称为"菲波那契数".特点是即除前两个数(数值为1)之外,每个数都是它前面两个数之和.

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢经研究发现,相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的.即f(n)/f(n-1)-→0.618等.由于菲波那契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.

一个很能说明问题的例子是五角星/正五边形.五角星是非常美丽的,我们的国旗上就有五颗,还有不少国家的国旗也用五角星,这是为什么因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的.正五边形对角线连满后出现的所有三角形,都是黄金分割三角形.

由于五角星的顶角是36度,这样也可以得出黄金分割的数值为2Sin18度.

【发现历史】

由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割.

公元前4世纪,古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,并建立起比例理论.他认为所谓黄金分割,指的是把长为L的线段分为两部分,使其中一部分对于全部之比,等于另一部分对于该部分之比.而计算黄金分割最简单的方法,是计算斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,...后二数之比2/3,3/5,4/8,8/13,13/21,...近似值的.

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