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20世纪是数学大发展的世纪.数学的许多重大难题得到完满解决,如费尔玛大定理的证明,有限单群分类工作的完成,庞加莱猜想的解决等,从而使数学的基本理论得到空前发展.另一方面,随着2012年7月4日欧洲核子中心发布关于疑似Higgs波色子被发现的消息,粒子物理学和理论物理学在标准模型的研究上取得了近几十年来最重大的进展.这象征着人类通过抽象的数学理论探究宇宙的奥妙取得的另一个里程碑似的进步.二十一世纪的数学和理论物理学的发展愈来愈呈现出相互紧密影响和融合的趋势.为了揭开数学物理的神秘面纱,我们走访了北京大学数学学院的范辉军教授.
走近范辉军教授
北大的未名湖畔,经常可以看到一位青年老师跑步的身影,他就是范辉军教授.范辉军毕业于北京大学,师从张恭庆院士.2003年范辉军教授到北京大学数学科学学院工作,2010年提升为北京大学数学学院教授,同时是“北京国际数学研究中心”博士生导师.范辉军教授的研究方向为几何分析、辛几何以及与量子场论、超弦理论有关的数学物理,该方向的研究涉及到理论物理以及数学几乎所有相关的方向,研究极具难度.谈到自己的求学经历,范辉军告诉记者,他最开始上大学的时候,并没有到数学系,而是在物理专业.范辉军1987年进入华中工学院,也就是现在的华中科技大学,成为第三期少年班的学员,当时只有15岁.两年之后到物理系精密仪器专业.范教授笑着说,物理专业更注重应用方面,他不擅长做实验,精确度和时间都不如别的同学.他感兴趣的是理论研究,希望选择理论性强的学科.范教授发现自己在理论物理或数学方面更擅长一些.后来,去数学系听课,成绩比数学系的学生都要好.因此,范辉军在考研的时候就选择了数学.并且以基础数学第一名的成绩考取了吉林大学.范辉军告诉记者,吉林大学很有自己的特色,特别在偏微分方程方向有很强的研究力量,比方说伍卓群、赵俊宁、李辉来、尹景学、李勇、袁洪军等优秀的专家学者,他们自觉秉持大学之道,不断积养淳厚学风.受他们的影响,范辉军在分析、尤其是偏微分方程等方面受到了很好的训练.
范辉军比较多地谈到了他的导师,数学界的泰斗张恭庆院士.他说：“我考博士生的时候,正值出国风盛行,我接到国外的一些邀请函,给我寄来招生简章.我面临着是去国外学习,还是留在国内的选择.当时已经考了托福,可是,我的一个师兄说,如果再念一次博士,一定去北大,给了我很深刻的印象.后来,我决定不象别人一样出国.”于是,范辉军最终决定考北大的数学专业的博士,并以优秀的成绩如愿以偿地被张恭庆院士录取.范辉军动情地说,如果我没有考北大的话,我的人生可能改写.张恭庆院士就是改变我人生的一个人.那一年是1994年,张恭庆老师在苏黎士国际数学家大会做了一个四十五分钟的报告.他是解放后第一批在（真正的国际讲坛）国际数学家大学做四十五分钟报告的人.范辉军钦佩地说,张老师改革开放以后才有环境专门研究数学,那时他已经四十多岁了,十多年后,他就能够在学术方面取得这样成就,能够站在国际尖端的讲台,这种专业进取精神对我的影响非常大.张老师在北大有一个几何分析的讨论班,很多著名老师参加,营造了很好的气氛.成员包括从刘嘉荃,蒋美教授等到如今的王晓东、杭风波教授等旅美青年数学家.后来,1995年的时候,丁伟岳老师和张恭庆老师在中国科学院联合组织了一个几何分析讨论班.在整个90年代,这个讨论班影响和造就了一大批年轻几何学家,大部分的人都获得了国家杰出青年的称号,其中包括李嘉禹、张立群、王友德、周向宇、简怀玉、张晓、朱晓华、史宇光、李宇翔、江宁等学界骨干.良好的研究氛围使范教授陶醉于数学的博大和美妙之中,更加勤奋刻苦的工作.范博士没有辜负张院士地期望,他用两年的时间学习了从同调论,同论论,李群和李代数理论,黎曼几何,复几何到抛物方程理论等众多的研究生课程并阅读了大量的几何分析方面的论文.那时候,范教授回忆说,我每天做功课十个小时,生活学习象钟表一样.每天八点半到图书馆,中午休息一会,下午又泡图书馆.晚上又去,一天三次去图书馆.范教授说
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认识数学物理
范辉军的研究方向是辛几何和数学物理.这是一个以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法.物理学要发展,要有新的数学理论去推动它.这也使数学在现实受物理学更多的影响,特别是理论物理,量子场论、弦理论等,提供了许多通过不同的视角去看数学.范教授说,你们知道“千年数学难题”吗?2000年5月24日,美国麻州的克雷数学研究所在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事：对七个“千年数学难题”的每一个悬赏一百万美元.这七个“千年大奖问题”是：NP完全问题.霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨-米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想.其中庞加莱猜想,在2010年国际数学家大会上宣布被解决.在克雷研究所提出的七大数学问题中,杨-米尔斯理论就是和物理学有不解之缘.
物理问题的研究一直和数学密切相关.牛顿和莱布尼茨发明微积分的初衷就是为了用微分方程来描述天体运动,和更一般的中观物体的运动,从而发展为牛顿力学.18世纪以来,在连续介质力学、传热学和电磁场理论的研究中,归结出许多偏微分方程,通称数学物理方程.20世纪初,数学物理方程的研究开始成为数学物理的主要内容.此后基于等离子体物理、固体物理、非线性光学、空间技术、核技术等方面的需要,又有许多新的偏微分方程问题出现,如孤立子波,间断解,分歧解,反问题等,它们使数学物理方程的内容进一步丰富起来.20世纪以来,由于物理学内容的更新,数学物理也有了新的面貌.伴随着对电磁理论和引力场的深入研究,人们对时空观念发生了根本的变化.这使得闵科夫斯基空间和黎曼空间的几何学成为爱因斯坦狭义相对论和广义相对论所必需的数学理论.在探讨大范围时空结构时,还需要整体微分几何.量子力学和量子场论的产生,使数学物理添加了非常丰富的内容.量子力学的发展极大的促进了数学中算子泛函理论的发展.物理对象中揭示出的多种多样的对称性使得群论显得非常有用.比如,晶体的结构就是由欧几里得空间运动群的若干子群给出的.另一方面,群和对称性在粒子物理和物理基本理论的研究中起着核心的作用.正交群和洛伦兹群的各种表示对讨论具有时空对称性的许多物理问题有很重要的作用.洛伦兹群的表示理论给出了粒子自旋的概念,并直接与狄拉克算子的定义相关.而对应的数学理论就是阿迪亚一辛格指标理论.对基本粒子相互作用的内在对称性的研究更导致了杨-米尔斯理论的产生.这个理论以规范势为出发点,而它就是数学家所研究的纤维丛上的联络.英国数学家唐纳森利用物理中的杨一米尔斯理论建立了四维光滑流形上的瞬子模空间的理论,这个理论深刻揭示了四维流形上的光滑拓扑结构,并开创了模空间理论研究的新方向,成为近三十年来数学发展的主流方向.物理学家对大统一场论į
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