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【摘 要】本文研究了有界导函数的若干性质的意义及其证明方法,在学习生活当中的应用.导函数性质的把握主要是更好的学习函数及其函数的应用,同时掌握函数与导函数之间的联系,能更好的利用导函数与函数之间的关系来解决和优化数学学习当中的一些问题.研究探讨函数导函数的一些相关性质.通过对一些参考文献的归纳和总结,深化对有界导函数的学习和理解.通过举例说明了有界导函数性质的应用,学会灵活的应用有界导函数的性质.

【关 键 词 】导函数；连续性；可积性

数学分析是数学专业一门重要的基础课,而函数的有界导函数是其重要的部分,导数的思想最初是由法国数学家费马为解决极大,极小问题而引入的,但导数作为微分学中最主要的概念之一,却是英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别在研究力学与几何学的过程中建立的.本文研究和探讨了有界导函数的性质和可积性,并用有界导函数的这些性质,研究,判断和讨论相应函数的有关性质.

在本论文的写作过程中,通过对一些参考文献的归纳和总结,深化对有界导函数、函数的学习和理解.通过举例说明了导函数性质的应用,学会灵活的应用函数、导函数的性质.本文深化了对有界导函数的学习和应用,为函数和有界导数的学习提供了一个参考.

在对导数的学习和探求中,发现有界导函数有很多值得注意的性质.本文讨论如下.

称为在区间 上导数有界函数,是指 , , ,简称 有界,当函数的导函数有界,则 和 都有一些重要的性质,

1.导数有界函数的性质

1.1 利用中值定理证明不等式

利用导函数 的有界性及中值定理,常常可以证明某些不等式.

命题1.1 在 有界 ,

证：由中值定理得

,

例1.1 证明 ,

证：取 等于 ,

等于

有界

由定理8可知

1.2 导数有界函数的一致连续性

命题1.2 若函数 在区间I上可导, 在I上有界,则

（1）、 在I上满足Lipschite条件,

（2）、 在I上一致连续性,

（3）、 在I上具有不动点 ,使得

.

证明：（1） 在区间I上可导, 导数 有界 , 由微分中值定理,

, ,存在 使

.

在I上满足Lipschite条件.

（2） ,取 ,对 ,

当 ,由上面（1）

（3）、1）、

2）、 ,

收敛,

收敛,

收敛, 使得

3）、 在 中,令 ,

是 的不动点

4）、若另有 ,

不动点唯一.

2.有界导函数的可积性

一个函数的导函数未必可积.例如 ,因 在 上无界 在 不可积.此外,即使导函数 有界,则导函数 也未必可积.,这一例子由法国数学家渥太拉（Vol taira）首先给出,见文[12].

参考文献本科论文如何写
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通常,定积分的牛顿-莱布尼兹公式要求被积函数连续.但对函数的导函数 来说,只要求其可积,就有牛顿-莱布尼兹公式成立,讨论如下：

2.1 导函数可积的性质

命题2.1 当 可积,则 定积分牛顿-莱布尼兹公式成立

证明：因 可积,在 上分别任取：

得到 个小区间 , .记 , ,因 可导,在每个小区间 上运用Lagrange微分中值