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推进素质教育是中学数学教学改革的一项重要任务.为顺应“大众数学”的国际数学教育改革潮流,我国高中阶段对排列组合的引入和应用介绍也越来越重视,对此类问题的探讨也有助于提高学生分析问题、解决问题的能力.除了中学课本介绍的常用方法外,用递推法来解某些排列组合应用题更具有一般性和规律性.鉴于这一方法在各类考试和竞赛中应用越来越广泛,掌握和运用这种方法,就显得更加重要.文中有这样一道题目：

（1994年高考题）同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的拿法有

A.6种 B.9种 C.11种 D.23种

该文用“构造法”给出了解答.并说明“构造法”运用巧妙.但这种解法比较难思考,有较大的局限性,也比较难进一步推广,假如把4个人改为5个人、6个人或更多的,用"构造法"恐怕很复杂.经深入研究和探讨,发现用递推的思想解这道题,可以找到一般的递推关系,并可以利用这种递推关系解决更为复杂的一些问题.下面介绍包括“构造法”在内的5种解法.

贺年卡学术论文撰写
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1.构造法：构造法的关键是针对问题的实际意义,构造一个三棱锥,记这4个人为A,B,C,D,每人所写的贺年卡对应记为a,b,c,d（如图）,

设法把每个人和他写出的贺年卡同放在三棱锥的一个顶点上,则4个顶点刚好分配完.规定每条棱表示2种顺序拿法.例如棱AB表示A拿b或B拿a.根据题意全部拿法分为两类：第一类是4人中有2人交换着拿,例如A拿b,B拿a,这时另2人也只能交换着拿,这种拿法在三棱锥中表示为成异面直线关系的两条棱,而这样的棱在三棱锥中共有3对,所以这类拿法有3种.第二类是4人顺序循环拿,例如A拿b,B拿c,C拿d,D拿a（或反序循环：A拿d,D拿c,C拿b,B拿a）,这在图中表示为4条首尾顺次相接的棱构成的空间四边形ABCD.

而余下的2条棱也恰好为1对“异面直线棱”.由于三棱锥中共有3对这样的“异面直线棱”,所以图中共有3个不同的空间四边形,而每个四边形有2种循环序表示2种拿法.故第二类拿法共有3×2等于6种.因此,两类拿法共表示9种不同的分配方式.

2.列举法：当问题比较简单时可做具体分析.

设4人A,B,C,D,写的贺年卡分别记为a, b, c, d.可从第一个人A考虑起,当A取b时,其他三人可取的情况见右表.由表可知A取b 时有三种分配方法.同样A取c, d 时也各有三种方法.这样由A的取法可分三类,由加法原理得3+3+3等于9（种）

A B C D

b a d c

b c d a

b d a c

3.直接法：用乘法原理.即让四人依次拿一张贺年卡,分四步进行.

第一步：A先拿有3种方法；

第二步：叫被A取走他写的贺年卡的人再拿,也有三种取法；

第三步：剩下的两张贺年卡中至少有一张是还没拿的两个人中的某个人写的,让这个人拿只有一种拿法；

第四步：一张贺年卡一个人只有一种拿法.

由乘法原理得：3×3×1×1等于9（种）

4.间接法：先不考虑要求,四个人拿四张不同的贺年卡,每人一张的方法数为P44等于24种,其中不合要求的情况有：

（1）四个人均拿到自己写的贺年卡的情况：这种情况有1种.

（2）有且只有两个人拿到自己写的贺年卡的情况有C42×1等于6种.

（3）有且只有一个人拿到自己写的贺年卡的情况有C41×2等于8种.

故共有：24-1-6-8等于9（种）

5.递推法

我们先把文中题目所涉及的问题换一种说法.即把1,2,3,4四个数字排成一排,使得I不能排在第I位,I等于1,2,3,4.求符合条件的排列数.

我们再把这问题推广为一般的模式.把1,2,3,等,n这n个数字排成一排,使得I不能排在第I 位,I等于1,2,3,等,n.求符合条件的排列数.

设n个数字的这种排列数为Dn,若能推出Dn的通项公式或递推公式,那么上面的问题就迎刃而解且能解决一些较为复杂的问题.利用递推的数学思想分析如下：

容易知道D1等于0,D2等于1,n≥3时,考虑1,2,3,等n这n个数字的所有符合条件的排列数（以下称为n个元素的错位排列数）.我们根据在排列中的第一位的数字是2,3,等,n,而将这些排列分成n-1类,显然每一类的排列数相等.令dn表示第一位是2的排列数.那么有Dn等于（n-1）dn（1）

考察在dn中的排列,它们都是2I2 I3等 In的形式,其中Ij≠j,j等于2,3,等,n.我们进一步把这些排列分成两类,称I2等于1的为第一子类,并把其中的排列个数记为dn；称I2≠1的为第二子类,它的排列个数记为dn,那么有dn等于dn+dn（2）

在第一子类中的排列具有21 I3I4等 In的形式,Ij≠j,j等于3,4,等,n.所以dn就是3,4,等,n,这n-2个元素的错位排列数Dn-2.在第二子类