抽屉相关开题报告范文,与抽屉原理在几何证题中的应用相关论文范文集

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【摘 要 】 探究用抽屉原理证明几何问题的途径与方法.

【关 键 词 】抽屉原理；至少存在

“至少存在”几何问题的证明,历来是棘手的数学问题,但是,应用抽屉原理可以达到证明的目的.

什么是抽屉原理?

一般地,将m+1个物体放入m个抽屉,那么至少有一个抽屉的物体个数不少于2个.

我们可以用反证法来证明这个命题.

假设每个抽屉的物体个数少于2个,那么,m个抽屉所放物体个数少于或等于m个,这与所给物体个数m+1个发生矛盾,所以,假设是错误的,命题是正确的.

按照抽屉原理,将4根火柴放入3个抽屉,那么至少有一个抽屉的火柴根数不少于2根；将9根火柴放入4个抽屉,那么至少有一个抽屉的火柴根数不少于3根.

下面用抽屉原理来证明几个平面几何的数学问题.

图1 图 2例1 在边长为1的正三角形中（包括边界）,任意放入9个点,求证：这9个点中,至少有3个点,以它们为顶点的三角形的面积不大于316.

证析 如何切入问题呢?边长为1的正三角形面积为34,是面积316的4倍.

于是想到将三角形分割,分割有两种方法.

方法一：将正三角形一边四等分（如图1）,分点与对顶点连线构成四个底为1[]4,高为32

的三角形（等底同高）,将这四个三角形看作四个抽屉,共同的边可约定为某一个三角形的边,将9个点放入四个抽屉中,由于9÷4等于2等1,从最不利的情况入手,每个三角形内（包括边界）有两个点,其中至少有一个三角形的点数不少于3个,如果这三个点在某一个三角形的三个顶点处,其面积为316,如果这三个点有一个不在顶点处,其构成的三角形面积小于316,所以,至少有三个点,以它们为顶点的三角形的面积不大于316.

方法二：取三边中点,依次连接中点,得到三条中位线,它们将三角形分为四个边长为1[]2的小正三角形（如图2）,将这四个三角形看作四个抽屉,共同的边可以约定为某个三角形的边,由于9÷4等于2等1,从最不利的情况入手,至少有一个三角形的点数不少于3个,如果这三个点在某一个三角形的三个顶点处,其面积为316,如果这三个点有一个不在顶点处,其构成的三角形面积小于316.命题得证.

图 3例2 在半径为R的圆内（包括边界）,任意放入8个点,求证：这8个点中至少有两个点,它们之间的距离小于半径R.

证明 如图3所示,将圆O六等分,分点依次为A,B,C,D,E,F,OA,OB