不等式类有关电大会计本科毕业论文选题,关于2016年安徽卷理科压轴题的试题与教学相关硕士学位毕业论文范文

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摘 要：通过挖掘2014年安徽卷理科压轴题解法中蕴涵的数学思想方法,探究这道题的背景,揭示其错解原因,从而得到解答压轴题的教学启示,有助于学生提高压轴题的解题能力.

关 键 词 ：高考,压轴题,解法分析,教学启示

2014年高考数学安徽卷理科压轴题如下：

设实数c>,0,整数p>,1,n∈N*.

（Ⅰ）证明：当x>,-1且x≠0时,（1+x）p>,1+px,

（Ⅱ）数列{an}满足a1>,c ,an+1等于 an+ a ,证明：an>,an+1>,c .

本题是数列与不等式的综合问题,考查递推公式、二项式展开、导数、不等式的性质、数学归纳法、放缩法等数学知识和技能,同时考查推理证明、逻辑思维及分析问题、解决问题的能力. 完成本题,要求学生具备较高思维水平和良好的心理素质. 笔者有幸参与了今年的安徽高考阅卷工作,以下就安徽卷理科第21题进行分析和思考,不妥之处,敬请专家斧正.

解法分析

第（Ⅰ）问

解法1：数学归纳法：①当p等于2时,（1+x）2等于1+2x+x2>,1+2x,不等式成立.

写不等式论文的注意事项
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②假设p等于k（k≥2,k∈N*）时,不等式（1+x）k>,1+kx成立,

当p等于k+1时,（1+x）k+1等于（1+x）（1+x）k>,（1+x）（1+kx）等于1+（1+k）x+kx2>,1+（1+k）x,

所以p等于k+1时,原不等式也成立.

综合①②知,当x>,-1且x≠0时,对于一切整数p>,1,不等式（1+x）p>,1+px成立.

解法2：构造函数f（x）等于（1+x）p-（1+px）,则f′（x）等于p（1+x）p-1-p.

易知,当x∈（-1,0）,f ′（x）<,0,x∈（0,+∞）,f ′（x）>,0,

故：当x>,-1且x≠0时,f（x）>,f（0）等于0,即（1+x）p>,1+px.

解法3：令ap等于 ,由ap+1-ap等于等等于 <,0.

所以数列{ap}单调递减. 因为p>,1,n∈N*,故ap

又（1+x）p>,0,从而得（1+x）p>,1+px.

解法4：利用均值不等式

由已知x>,-1且x≠0且知1+x>,0且1+x≠1,由均值不等式得,

（1+x）p+ >,p 等于p+px,

从而得（1+x）p>,1+px.

点评：前两种方法属通法,易想易做,方法3新颖别致,美不胜收,方法4运用均值不等式巧妙大气,浑然天成. 法2与法3同为构造法,然而所选主元不同,前者以x为主元,构造函数,后者以p为主元,构造数列. 一道小题,四种方法,沟通了函数、数列、不等式及数学归纳法等重点数学知识和方法.

第（Ⅱ）问?摇

解法1：先用数学归纳法证明：an>,c .

①当n等于1时a1>,c 成立,

②假设n等于k（k≥1,k∈Z）时,ak>,c 成立,

由an+1等于 an+ a ,易知an>,0,n∈N*,?摇

则n等于k+1时, 等于 + a 等于1+ -1.

由ak>,c >,0,得-1<,- <, -1<,0,由（Ⅰ）中的结论得

等于1+ -1 >,1+p -1等于 .

因此a >,c,即ak+1>,c .

所以n等于k+1时,不等式an>,c 也成立.

综合①②可得,对一切正整数n,不等式an>,c 成立.

再由 等于1+ -1可得 <,1,即an+1

综上所述an>,an+1>,c ,n∈N*.?摇

点评：本解法的关键是灵活利用第（Ⅰ）问的结论,把p次幂式放缩、降次转化,对考生思维水平及新知识的迁移应用能力要求较高.

解法2：设f（x）等于 x+ x1-p,x≥c ,则xp≥c,并且f ′（x）等于 + （1-p）x-p等于 1- ,知f（x）在[c ,+∞）上单调递增. 因而当x>,c 时,f（x）>,f（c ）等于c .

（1）当n等于1时,由a1>,c ,c>,0得a >,c,

所以a2等于 a1+ a 等于a11+ -1）c ,

从而a1>,a2>,c . 故当n等于1时,不等式an>,an+1>,c 成立.

（2）假设当n等于k（k≥1,k∈N*）时,不等式ak>,ak+1>,c 成立,则 当n等于k+1时,f（ak）>,f（ak+1）>,f（c ）,即有ak+1>,ak+2>,c .

所以当n等于k+1时,原不等式也成立.

综合（1）（2）可得,对一切正整数n,不等式an>,an+1>,c 成立.

点评：本解法关键在于构造函数f（x）等于 x+ x1-p,x≥c ,利用函数f（x）的单调性和不动点,有一定的技巧性.

解法3：先证有界性,再证单调性

先用数学归纳法证明：an>,c .

（1）当n等于1时a1>,c 成立,

（2）假设n等于k（k≥1,k∈Z）时,ak>,c 成立,

由an+1等于 an+ a 易知an>,0,n∈N*,

则n等于k+1时,ak+1等于 ak+ a 等于 ≥ 等于c . 当且仅当ak等于c 取等号,因为ak>,c ,所以ak+1>,c .

综合（1）（2）可得,对一切正整数n,不等式an>,c 成立.

再证单调性（利用结论an>,c ）.

作差an+1-an等于- an&