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摘 要利用群的扩张理论和有限群的性质,证明了Sylowp—子群为循环子群时阶的构造,其中<为奇素数.

关 键 词群扩张群构造自同构群Hall子群

中图分类号：G64文献标识码：A

0引言

在大学期间,我们学习了近世代数这一门课程,从中学习了群基本知识.其中,我们主要学习了有限群相互之间的关系与其基本定义和性质.有限群是代数学的一个重要分支,它在群论中占有非常重要的地位.在研究群的时候,我们的理想目标是对所有的群做同构分类,但是对任意群进行分类很困难.然而在有限群G中,当有限群的阶Hg（）给定后,要求它们有多少个互异的同构类,是有限群理论中的一个经典问题.我国代数学家张远达教授解决了阶群的构造,得出结论：阶群（为奇素数,且≠3,7）,在≡3（mod4）时,有12型；在≡5（mod8）时,有14型；在≡1（mod8）时,有15型.文献[7,9]证明了Sylowp-子群为循环群时的阶群和阶群的构造,文献[8]证明了Sylowp-子群为循环群时的2·11·阶群的构造.但是对于任一个阶群的构造给出一个十分简单而有效的解决方法还是很困难的,本文对一般的奇素数,（<）证明了Sylowp-子群为循环群时阶为的群之构造.

1预备知识

定理1

a）I$I$,I$I$H!I$I$.

b）I$I$,I$H!I$.

定理2（拉格朗日定理）：设是一个有限群,是的子群,则

∣∣等于∣∣[：]（即Hg（）等于Hg（）[：]）

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定理3设等于{}为循环群,如果Hg（）等于,则恰有（）个生成元,且是的生成元的充分必要条件是（,）等于1（这里,（）是欧拉函数）.

定理4

a）若≡（mod）,≡（mod）,则+≡+（mod）.

b）若+≡（mod）,则≡（mod）.

c）若≡（mod）,>0,则≡（mod）.

d）若≡（mod）,≡（mod）,则≡（mod）,特别的,若≡（mod）,则≡（mod）.

定理5（Sylow定理）（第一Sylow定理）若是有限群,是素数.设||Hg（）,即|Hg（）,但HsHg（）.则中必存在阶子群,叫做的Sylowp-子群.

（第二Sylow定理）的任意两个Sylowp-子群皆在中共轭.

（第三Sylow定理）中Sylowp-子群的个数是Hg（）的因子,并且≡1（mod）.

定理6（霍尔特（Holder）定理）阶群包含一个阶循环正规子群且其商群有是阶循环群的充要条件是等于{,}而其定义关系等于1,等于,等于,式中整数,满足≡1（mod）与≡0（mod）.

定义1（子群的定义）设是群,是的一个非空子集.如果关于的运算也构成群,则称为的一个子群,记作<.

定义2（循环群的定义）若群之每元可写为中某元的幂,就叫为循环群,记为等于{},并叫为的生成元（或叫由元生成）.

定义3（群的同构定义）设与是两个群,是到的一一对应,使（）等于（）·（）,HO,

则称为群到的一个同构映射,简称同构.并称群与同构,记作：H敗?

定义4（特征子群的定义）是的子群,如果H眨我獾氖粲诘淖酝谷海虺莆奶卣髯尤海亲鱻I$I$.

定义5称群为群被群的扩张,如果是的正规子群,并且/H敗?

定义6设是群的子群,如果存在的子群使等于,并且∩等于1,则称为在中的补群.

定义7设是群的子群,如果（Hg（）,[：]）等于1,则称是的Hall子群.

2引理

引理1设是的正规子群（记作I$）,（Hg（）,Hg[/]）等于1,则是的特征子群（记作I$I$）.

证：设Hg（）等于,Hg（）等于,则Hg（）等于.因为（Hg（）,Hg[/]）等于1,所以有（）等于1,对HO,有,属于之自同构群（记作（））,使等于,因Hg（）等于Hg（）,故Hg（）∣,所以有（Hg（）,）等于1.有以为生成元的循环群{},因为（Hg）等于等于Hg（）所以有也是循环群{}的一个生成元,即有{}等于{}.又等于H!H!{}等于{}H?H!H!H铡9蕗I$I$.

引理2设是的正规Hall子群,则在中有补群.

证：参见文献[2]112页.

引理3设,是同余方程≡（mod）（,为奇素数且<）在的模单位群（记作,且）中的两个根={},==1,=,={},==1,=,则?H?H#{}={}.

证：（H!）设是到上的一个同构映射,因中阶元为（（,）等于1）,故可设等于,等于.则一方面等于等于等于,另一方面等于等于等于等于,故等于H!≡（mod）H!≡（mod）H!{}H調}.同理对称的可证得{}H調},故{}等于{}.

（G?）若{}等于{},由于中满足≡1（mod）的解是中的1,2,,2阶元,

①若Hg（）等于Hg（）等于1,则显然有等于；

②若Hg（）等于Hg（）等于2,≡（mod）时,则显然有等于；

③若Hg（）等于Hg（）等于,≡（mod）时,显然有等于；

④若Hg（）等于Hg（）等于2,≡（mod）时,显然有等于；故设≠（mod）,≡（mod）（1<<）时,

若是奇数,定义：→,→,若是偶数,定义：→,→,易证均为同构映射,故有H敗?

引理4阶为2的群不是单群.

证：设Hg（）等于2,是的一个子群,且Hg（）等于.对任意的,若,则等于等于.若,则与是的两个不同的陪集.因为[：]等于等于2,说明在中的陪集的个数为2,所以等于∪,同理有等于∪.因为∩等于HT,而H?等于∪,所以H眨碛衻H铡K?等于,因此I$.显然不是的单位元群,且≠,所以阶为2的群不是单群.

3主要结论

设群的阶Hg（）等于2,<为奇素数,由引理4可知不是单群且有一个阶为的正规子群,即?I$且?Hg（）=.设={}是的一个Sylowp-子群,由Sylow定理知的Sylowp-子群个数=1,.因<,故≠,=1.所以?I$,又（?Hg（）,?Hg（/））=（,）=1,由引理1知?I$?I$,又?I$,故?I$,即只有唯一一个Sylowp-子群,又（?Hg（）,?Hg（））=（,2）=1,故是的正规Hall子群,由引理2知,在中有补群,即存在的子群满足=,∩=1,显然?Hg（）=2,由文献[1]之284页知道有二型,故下面分两种情况讨论.

3.1当等于{},等于1时的构造

此时,为循环群等于{}被阶循环群的扩张.取中阶为的一元,于是等于+等于{,},据定义关系等于等于1,等于,式中等于1（mod）（霍尔特定理）,由数论知识,等于1（mod）在中有个解：,等,,其中≡（mod）（1≤≤）,等于（2,（））,（）等于,为模的一个原根.由引理3可得

当等于1时,则有（2,（））等于1,又因为,是奇素数,所以有（2,）等于1,即有为奇数,即为偶数,与题设是奇素数相矛盾,所以得出≠1.

当等于时,则有（2,（））等于,又因为<为奇素数,所以有（2,）=,即有不被2整除,所以有为奇数,即为偶数,与题设是奇素数相矛盾,所以得出≠.

3.1.1当等于2时,≡1,1（mod）,故此时有2型：

）等于{,},等于等于1,等于,即H?.

）等于{,},等于等于1,等于.

3.1.2当等于2时,≡（mod）,等于1,