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摘 要：在定积分和不定积分中都有递推公式的推导问题,与一些计算及应用题相比,推导过程对学生来说不是很简单的问题.但使用递推公式解题恰恰又是高等数学中必不可少的内容.本文给出了几个积分中经常使用的递推公式的推导过程及简单例子.

关 键 词 ：积分；递推公式 ；推导

在定积分和不定积分中都有递推公式的推导问题,与一些计算及应用题相比,推导过程对学生来说不是很简单的问题.但使用递推公式解题恰恰又是高等数学中必不可少的内容,也是各种《高等数学》竞赛中经常出现的.而在教学中,由于课堂时间的有限也没法就此问题深入展开.本文给出几个积分中经常使用的递推公式的推导过程及简单例子,希望能够加深学生应用时的印象.

1.导出递推公式In等于∫dx（x2+a2）n,其中n为正整数.

如何写高等数学毕业论文
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解当n等于1时,有

 以此作递推公式,则由I1开始可计算出I2等In.也就是把计算In归结为计算In-1继续使用,依次推下去,最后归结为计算I1.这个公式的推导很关键,应用方面较少.

2.导出递推公式In等于∫π20cosnxdx,其中n为非负整数.

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利用上面公式很容易计算出在区间[0,π2]上,函数cosx的各个幂次的定积分问题；当被积函数是sinx时,递推公式In等于∫π20sinnxdx,其中n为非负整数,易证计算结果与In等于

∫π20cosnxdx相同.可直接利用其结果解题,应用起来非常方便.

因为积分区间关于原点对称,x2arctnx为奇函数cos7x+sin8x,为偶函数,故

解因为积分区间不符合上面的推导公式,先要作变量替换,设2x等于t则dx等于12dt,当x等于0时,t等于0；当x等于π4时,t等于π2

所以,∫π40（cos52xdx等于12

∫π20（cos5tdt等于12·45·2