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【摘 要 】本篇“论数学中的二律背反”是在数频理论的指导下取得的又一开创性的新成果,它总结并解决了古今数学理论在基础理论上明确存在的二律背反问题,揭示了无穷大的自然数分布至少是以无限循环与无限不循环的交错分布的规律.

【关 键 词 】数频；二律背反；有理数；无理数；无穷大

二律背反是康德哲学的概念,指对同一现象或问题所形成的两种不同理论,虽各自成立但自相矛盾,又译作二律背驰等.这一问题不仅仅是一个哲学问题 ,它在数学上也有诸多表现形式,揭示了经典数学理论上所存在的矛盾的必然性,因此对古今数学理论产生了严重危机,但是却为数频理论的创立产生了深刻的积极影响.

以上无穷大自然数问题是有历史渊源的,但是没有类似上面一个具体的例子,否则也就没有今天的数频理论了.早在2500多年前,欧几里得证明了质数无穷多；欧拉利用调和级数的发散性,简单并且巧妙地证明了质数无穷多的欧几里得定理,可惜的是没有一个具体的例子或表达式.类似欧拉的质数分析一样的现代数学分析,也是仅仅局限在抽象的所谓的纯粹定义或理论上,不曾探讨过一例具体的无穷大自然数,这就注定了这些经典数学理论分析脱离了实践或事实,违背了科学精神,这正是古今数学在不断发展中矛盾层出不穷的原因.

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总之,数频理论的产生不是偶然的.它是有形数学的又一次高度发展和总结.它既否定了经典有理数、无理数的模糊定义及其理论,也否定了以此为基础的矛盾的实数体系,使之重新回归到无穷大自然数这个统一的数频理论上来.

第四次数学危机是2010年由美国著名大数学家、物理学家史蒂芬·霍金提出的.它彻底动摇了数学的根本——实数及复数的定义,对此不少数学家感到到难以接受的原因,在于霍金的质疑虽然合理、强大但不是一个更加科学的体系来取代. 霍金提出：A∈A,则A是A的元素,A具有性质Q,有性质Q知A不∈A；其次,若A不∈A,即A具有性质Q,而A是所有性质Q的项数组成的,∴A∈A. 然而由于A∈A是从Q中A不∈A导出的,因此整套逻辑将会是一个重言式,故有理数集系统不存在精确解. 这一推论多少有点罗素悖论的影子,虽向前发展了许多,事实上仍然没有脱离二律背反的逻辑怪圈,在于其推导一开始就建立在矛盾的有理数基础上,霍金的上述分析十分客观深刻,极其精辟扼要,却没有将它们统一起来,这也许才是令大多数数学家不满意的原因. 由此可见没有统一的数频理论,就没有统一的数学发展.至于霍金提出的质疑包含了有理数系统的不确定性,不&#