(一)数学教学的统领性观念数学教学的统领性观念是对数学教学目的的看法，即为什么教数学教哪些数学。
它包括四种成份。一是数学的核心概念与过程。二是藴涵在这些核心概念与过程里的数学思想方法。三是对学生今后学习和发展最有价值的知识。四是教师的数学信念。核心概念很大一部分描述了数学事实的共同规律，组织了一类零碎的数学事实对于领会这类数学知识起决定作用。教授这些核心概念才能使学生在较短时间内学习更多的数学知识更好的组织与领会学过的数学知识，相对理解数学的本质，学到有价值的数学。学生经历数学过程才能知道知识的来龙去脉学会判断知识的真学会做数学。像勾股定理一课一位教师利用网格这一工具经过精心设计让学生通过特例提出猜想并证明了勾股定理学生提出的猜想并不仅限于勾股定理，还有一些有条件的结论。学生通过举反例否定了这些有条件的结论，认识到数学定理必须得到证明举例证实是不够的。学生在教师指导下，经过探寻直角三角形三边间的模式、提出猜想、批判反驳、证明断言和寻求一般化这些数学过程理解了勾股定理是怎么来的。
数学思想方法是做数学的策略性知识，比如波利亚的启发法、元认知知识与技能。它是与数学内容相分离的更普遍的思维模式教师揭示隐藏在数学内容里的思想方法学生才能学到这些思想方法逐步学会学习数学，比如特殊化是上述勾股定理一课的数学思想方法。学生在教师的指导下由随意的特殊化猜出一些规律由系统的特殊化认识一般的模式由巧妙的特殊化对一般性结论做出检验，认识到特殊化是做数学的较一般方法，可以运用到其他数学内容的学习中去。
数学的一些概念、过程在数学中是重要的但对学生来说并不是必需的。教师需要根据课程标准做出判断、选择教授对学生今后学习和发展最有价值的知识。比如符号化、形式化是数学的本质特征但完全形式化妨碍学生理解数学。从学生己有的知识经验出发适度形式化，学生理解数学表示的模式对学生今后学习与发展是最重要的。
教师数学教学的统领性观念受其数学信念制约。数学信念是指对数学的看法与观念包括数学是什么，从哪里来，有什么甩如何判断数学的真学生应该如何学习数学等。如果把数学看成是一门经验学科的教师偏好让学生以观察、实验等各种系统化尝试来确定规律。如果把数学看成一些事实、术语、命题、规则、算法的教师，偏好让学生记忆、模仿、练习。
(二)内容组织的知识
内容组织的知识是关于课程的包括四种成份：特定课题在整个学科体系中的地位和作用；上位知识与下位知识之间的联系；新旧知识（包括数学外的其他学科知识）间的联系；与儿童生活经验的联系。
特定课题在整个学科课程体系中的地位和作用，用来确定教学目标。比如全等三角形判定定理4(边边边定理）这节课学生经过前三节课三个判定定理的训练对直接应用某个判定定理判定三角形全等己经非常熟练。在这节课学生只要知道了判定定理4马上就会用它来判定三角形全等。学生己经会了，就不能作为教学重点。学生可能在选用哪个判定定理来解题时遇到障碍这节课的教学重点应该是在四个判断定理中选择适宜的定理来判定三角形全等。
上位知识与下位知识之间的联系，用来提高教学效率。上位知识对下位知识的组织作用，是奥苏贝尔先行组织者理论的一条内容组织原则。这样的顺序安排，由浅到深，由易到难先简后繁用基本概念做支撑，重点突出，体系简约使知识容易领会、记忆和迀移。有时，限于学生的接受能力，也先学下位知识，把下位知识作为特例进一步一般化推出上位知识。
新旧知识间的联系也用来提高教学效率。旧知识可以为学生提供认知根源（cgnilieroot)和组织框架。比如分解因式是分解因数的对应概念。教师引导学生把相应的旧知识类比物作为认知根源，学生可以用旧知识类比物做支撑自行推出新知识。习得新知识后，学生把类似的新旧知识组织到一起形成一个图式易于记忆、运用、迀移。新知识与学生己有经验的联系，也可以用来提高教学效率。学生的己有经验也可以作为认知根源。比如糖水加糖变甜的经验数量化后推得一系列的不等式，易于学生理解、运用这些不等式。
(三）学生理解的知识
学生理解的知识是关于学生对特定课题如何思考的包括五种成份：学生对于特定课题己经知道了什么；可能的认知路径；学生理解的发展历程；学生认为特定课题容易还是难懂；学生对特定课题的典型误解。利用学生己有的知识经验构建可以显著地提高教学效率。这在新旧知识的联系，新知识与学生己有经验的联系中己论述过学生的素质与经历不同看同一问题时认知的路径也不同。比如小明星期一吃了16粒豌豆星期二吃了32粒豌豆。问小明星期二比星期一多吃了多少粒豌豆？三年级的某班学生在解决问题时提供了六种解法：生1从17开始向后数数。生2认为32的一半是16答案就是16生3把表示16和32的教具（豆子)配对，数一下剩余没有配对的豆子得到答案。生4认为生3的方法不对直接从表示32的豆子中拿走16粒，数一下剩余的就行了。生5是标准的减法算法。生1在生5的减法算法启发下提供了加法算法16+16=32学生的这六种解法处于不同的表征水平，教学需要在学生自发的认知路径上扩展引导学生逐步合理精简原有的想法，最终达到标准减法算法。
数学学习受限于学生理解的发展性。在特定年龄学生对某一概念只能理解到某一程度。教师在选择教学任务时要适合特定学生的理解水平。比如证明由一系列连贯的推理构成，学习证明可以从“为什么事情是这样的”这样一些说理开始，在适当的时候再形式化学生觉得容易的课题，可以少讲甚至不讲以提高教学效率。学生很难理解的课题经常出错的内容需要仔细设计，有针对性地纠正误解。
(四）效果反馈的知识
效果反馈指教师对学生的学习结果进行评测及时调整学生的学习。教师根据对学生学习结果的评价做出后续教学决策，推动教学的持续进行。评价会显示学生是如何学习的，己经会了什么，哪些还不会、需要进一步学习。好的评价不仅显示学生会做什么而且指出学生的错误，以及这些错误的原因。比如评价学生关于分数大小的理解需要考虑到有两种方法：化为小数或者通分，评价题目需要这两种方法都能做。另外设计题目时还要考虑学生的一些典型误解。一些学生会认为，分子大分数值就大。对于题■-4会由错误推理得到正确答案学生无论持有什么误解对于题-3-16都不会得到正确的答案。学生对后者的答案将给教师提供诊断信息帮助教师判断学生的误解。教师获得必要的反馈再通过强化消除学生的误解补上学生落下的知识保障学生能够继续学习数学。
(五）教学策略的知识
教学策略指教学活动的设计与顺序安排、教学内容的呈现方式它是教学意图的实施方案。教学策略与内容有关。即使一些适用于各学科的教学策略，在教授不同的学科时，也有所不同。比如合作学习，数学课上的交流合作与物理课上的实验分工合作，在活动的组织与成员的角色方面不同。好的教学策略，会给学生提供特定课题的适宜认知根源新知识会在学生己有知识经验中得到解释学生通过推理经历知识形成的过程，获得教师期望的理解学生会有大量机会进行口头与书面的交流发展数学交流的技巧；学生会在新旧知识之间建立合理的、实质性的联系，形成简洁统一的认知结构。
二、PGK的结构
PCK的五种要素是互相关联的。数学教学的统领性观念居于统帅地位，影响教师对学生是如何思考的、内容是如何组织的、教学如何设计、学习结果如何测评及强化等的考虑教师数学教学的统领性观念与内容有关。在教师熟悉的内容领域教师会放手让学生进行观察、类比、归纳等尝试，以寻找模式、提出猜想、证明断言和寻求一般化在教师不熟悉的内容领域教师的表现就像新手对学生的控制要大得多，不回应学生的问题。如果教师对教授的内容都熟悉，教师数学教学统领性观念的表现是一致的。
内容组织的知识与学生理解的知识是相互关联的。内容组织知识中新旧知识间的联系与儿童生活经验的联系就有学生如何思考的考虑。学生理解知识中的认知起点哪里容易、哪里难懂理解的发展也与学生以前学了什么有关。在实际教学中，两者是联系在一起考虑的。仅以学生理解的知识为基础的教学忽视学生的日常概念、理解路径的局限性，学生的理解会有局限性。比如三年级的学生一般把乘法认为是重复的加法，在学习小数乘法时会产生“乘法总是变得更大”的误解仅以知识获得后是如何组织的知识为基础的教学会忽视学生己有的知识经验学生只学到一些孤立的、与自己日常知识没有联系的惰性知识。有效的教学策略是统筹考虑内容组织与学生理解这两方面只不过不同的教学策略可能更偏重某一方面。
效果反馈的知识与学生理解、内容组织的知识相互关联像上述评价学生分数大小理解的题目设计就同时考虑了两方面。两种方法（化为小数或者通分）都能做该题目，是考虑了内容组织的知识。题目能够反馈学生的常见错误是考虑了学生理解的知识效果反馈是教学过程中的重要一环。它校正学生学习的偏差保障教学能够顺利进行下去。
综合起来考虑，在数学教师的RK结构中，五种要素相互联系，起着不同的作用。数学教学的统领性观念居于统帅地位它决定教什么；内容组织的知识主要确定学生的学习结果，是确定教学目标的主要依据之一；学生理解的知识确定学生学习的起点教学策略设计学生的学习过程；效果反馈校正学生的学习偏差，是学生学习过程的保障措施。数学教师的PCK结构如图1所示。
三、结语
ICK是教学用的学科知识是特定学科内容知识、教育目标知识、课程知识、教学法知识、学生知识和情境知识经教学推理后形成的。它含有五种要素：数学教学的统领性观念、内容组织的知识、学生理解的知识、效果反馈的知识、教学策略的知识。这五种要素有机联系，形成一个整体。PCK处于一个连续体上，连续体的两端分别是上述六种知识形成的混合物与化合物。它包含了教师的数学信念具有个体性、实践性和情境性。它的来源有自己的教学经验和反思、和同事的日常交流在职培讽阅读专业书刊有组织的专业活动。从其来源来看ICK尽管具有个人性、实践性和情境性大多数情境下会和个人特征相分离经过其他教师的理解、转化、教学、评价、反思为其他教师所掌握它的要素中，内容组织的知识、学生理解的知识、效果反馈的知识基本上都是客观的公共知识它的基础是一种客观知识它是数学有效教学最重要的知识基础。中小学教师在教学实践中积累了大量的pc_K这些知识大多没有物化和广泛传播。笔者倡导基于PCK的结构整理、保存、传播实践中存在的PCK使其成为职前教师和职后教师专业成长的知识基础之一。
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