摘要:本文以线性方程组的最小二乘解的求法为背景,设计了在高等代数课堂教学中融入数学实验内容的一个具体案例,课堂教学由浅入深,阐述了欧氏空间中正射影概念的几何背景及实际应用案例.
关键词:高等代数;数学实验;正射影;最小二乘解;
高等代数课程是大学数学的基础课程之一,既是中学数学的继续和提高,又为后继专业课程的学习提供理论基础和必要的计算工具,在教学地位中起到了承上启下的作用.高等代数的理论内容和讲授的计算方法在很多学科中有广泛的应用,在传统的高等代数课程中比较重视理论知识的传授和学生计算能力的培养,对于知识的应用涉及的很少,随着计算机技术的发展,高等代数中的很多计算问题可以由软件来实现,这大大推进了高等代数学科在科学技术发展中的应用,也使数学实验融入高等代数的教学成为一件水到渠成,顺应时代发展的事情.下面是笔者在讲授欧氏空间中正射影概念时,以线性方程组的最小二乘解为背景,融入数学实验问题的一个案例.
1正射影的几何背景
我们所采用的教材是张禾瑞,郝鈵新编着的《高等代数》第五版,[1]在第8.5节以解析几何中的向量空间为背景,给出了一个向量ξ在欧氏空间的某个子空间中的正射影的定义,并证明了在该子空间的向量中,ξ的正射影到ξ的距离是最短的.虽然有几何空间做背景,这一知识点对大多数学生来讲还是过于抽象而不好理解.熟悉高等代数知识的人都知道线性方程组的最小二乘解的求解与正射影的概念密切相关,在生活实际中也有非常广泛的应用.于是利用一节课的时间对正射影的性质在线性方程组的最小二乘解问题中的应用及相关内容进行了深入讨论.
课堂的一开始首先从向量的角度考察线性方程组,[2]m个未知量n个方程的线性方程组可以用向量的方法表示如下
从向量的角度看,方程组有解的时候,右端列向量能够由系数矩阵的列向量线性表示,也就是列向量b在系数矩阵的列空间里,线性方程组无解,右端列向量不能由系数矩阵的列向量线性表示,也就是b不在系数矩阵的列空间里.
在求解实际问题的时候经常遇到的线性方程组是无解的方程组,这时可以在系数矩阵的列空间中找一个和右端列向量b距离最近的向量来代替b,把新方程组的解作为已知方程组的解.
列空间中任意一个向量可以表示为列向量的线性组合
要找一组系数x1,x2,…,xn,使它对应的列空间中的向量与向量b的距离的平方最小:
我们称使(1)式取最小值的解为线性方程组的最小二乘解.
例1:要测量某个物体的长度,第一次测得的值是a,第二次测得的值是b,有
显然a和b不相等时方程组没有解,这时候找一个x,使
最小,解得是方程组的最小二乘解.这与通常取平均值的做法是一致的.
通过第一个例子学生对最小二乘解有了直观的初步的了解,再进一步加深难度.给出第二个例子.
例2:求解线性方程组.
分析:这个方程组显然无解,因为它的前两个方程是互相矛盾的.要找一个解使得平方和
最小.
解:设系数矩阵的列向量和常数列向量分别是α1,α2和β,这里α1,α2和β是不在同一个平面的三个向量,而α1,α2的任意一个线性组合都在α1,α2所确定的平面W内,要在W内找一个与β最近的向量β',在方程组中用β'替换掉β,β显然与它的正射影距离最近.
已知β'是β的正射影当且仅当β-β'与平面W垂直.当且仅当β-β'与α1,α2都正交.有
也就是(α1α2)(β-β')=0,变形得(α1α2)β=(α1α2)β',
把β'用α1,α2线性表示出来,再代入方程
解这个方程得到的就是方程组的最小二乘解.
根据对例2的分析,可以用对一般的线性方程组进行推导,得到线性方程组最小二乘解的求解方法:
把线性方程组AX=B的两端同时左乘A,得到AAX=AB,解这个新的方程组就得到方程组的最小二乘解.
线性方程组的最小二乘解借助数学软件可以很方便地求解,结合应用案例给出具体的求解过程.
2应用案例
汽车司机在行驶过程中,发现前方出现突发事件,会紧急刹车,刹车时走过的距离必须小于车辆与前方目标之间的距离,才能保证人车的安全.知道刹车距离与车速之间的函数关系,就能够知道在以某一车速行驶的时候,与前车保持多远的距离是安全距离[3].
利用物理知识很容易建立汽车行驶速度与刹车距离之间关系的数学模型.刹车距离等于开车司机决定刹车到车完全停止这段时间内汽车行驶的反应距离与司机决定刹车到真正踩下刹车这段时间车走过的制动距离之和.
反应距离是司机反应时间内汽车匀速运动走过的距离,制动距离是汽车在制动力下匀减速运动走过的距离,可以推导出刹车距离关于汽车行驶速度是一个常数项为0的一元二次函数:
求出模型中的未知系数k1,k2,就确立了汽车行驶速度与刹车距离之间的函数关系.
用固定牌子的汽车,由同一司机驾驶,在不变的道路,气候条件下,对不同的车速测量其刹车距离,得到数据如下表
人们不会因为只有两个未知量就带入两组数据,而是要把测得的n组数据都代入函数关系式,得到一组线性方程
通常情况下,这组方程是没有解的,要求的是它的最小二乘解.把方程组写成矩阵形式
如果系数矩阵V是可逆方阵,可以求出唯一的解K=VD;这里V是个一般的矩阵,我们利用Matlab中的右除命令"V=KD"可以直接计算出最小二乘解.
编写一个小的程序求解模型,并利用所建立的模型计算汽车在任意速度下的刹车距离.
v=[20:20:140]/3.6;%要把速度从千米每小时转化为米/秒
v2=v.^2;X=[v;v2]';b=y';%刹车距离的实际测量值
k=X%算出k1,k2的最小二乘解
d=X*k%拟合函数算出的刹车距离
[x',b,d]%列一个数表将刹车距离的实际值与拟合值做一个比较
V=input('速度(米/秒)=');%输入任意一个速度值,
shachejuli=[V,V^2]*k%计算出对应的刹车距离
通过程序的运行结果能够得到这个司机行驶速度在30千米每小时的时候刹车距离是11.357米,而速度在60千米每小时的时候刹车距离34.5584米
参考文献
[1]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2007.
[2]徐丽媛,王翔宇,隋成柱.浅谈线性方程组的几何意义[J].白城师范学院学报,2016(8):7-10.
[3]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:高等教育出版社,2003.
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