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概率与统计是高中数学教材中的重要内容之一,也是高考的重要问题.复习这部分内容时同学们要理清概念,明白公式的适用条件,灵活地运用概率与统计思想解决实际问题,特别要注意对平时训练中出现的易错题多加分析.下面通过对本章节的典型易错知识与方法加以分析,以提高大家的辨别能力,提高解题速度与正确率.

易错剖析一：抽样方法含义理解不清致误

例1学校附近的一家小型超市为了了解一年的客流量情况,决定用系统抽样从一年中抽出52天作为样本实施调查（即从每周抽取1天,一年恰好有52个星期）,你觉得这样的选择合适吗?为什么?

错解：在这种情况下适合采取系统抽样.

错因分析：这家超市位于学校附近,其顾客很多为学生,客流受到学生作息时间的影响,如周末时,客流量会明显减少,如果用系统抽样来抽取样本,起始点抽到星期天的话,样本代表的客流量会明显偏低,另外,寒暑假也会直接影响超市的客流量.

正解：利用简单随机抽样和分层抽样,可以把一周分为7天,一年分52层,每层用简单随机抽样的方法,抽取适当的样本进行调查.

易错剖析二：概率与频率的关系不清致误

例2下列说法：

①频率反映事件发生的频繁程度,概率反映事件发生的可能性的大小；

②做n次随机试验,事件A发生m次,则事件A发生的概率为mn；

③频率是不能脱离n次试验的试验结果,而概率是具有确定性的,不依赖于试验次数的理论值；

④频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.

其中正确命题的序号为.

错解：①④.

错因分析：对概率和频率的关系认识不清,导致误判.如对于说法②,认为事件发生的频率就是事件发生的概率,再如对事件发生的概率的确定性认识不清,就可能认为说法③不正确等.

正解：①③④.

易错剖析三：误解基本事件的等可能性致误

例3任意投掷两枚骰子,求出现点数和为奇数的概率.

错解：点数和为奇数,可取3,5,7,9,11共5种可能,点数和为偶数可取2,4,6,8,10,12共6种可能,于是出现点数和为奇数的概率为55+6等于511.

错因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型,此时必须保证每一个基本事件出现的可能性均等,而上述解法点数为奇数、偶数出现的机会显然不均等,则不能用等可能性事件的概率模型来解答.

正解1：出现点数和为奇数,由数组（奇、偶）、（偶,奇）组成共有3×3+3×3等于18个不同的结果,这些结果的出现是等可能的,故所求的概率为1836等于12.

正解2：若把随机事件的全部等可能结果取为：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶,奇）（偶、偶）.点数和为奇数的结果为（奇、偶）、（偶,奇）两种,故所求概率为24等于12.

易错剖析四：几何概型概念的不清致误

例4在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C,在∠ACB的内部任作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM错解：在AB上取AC′等于AC,在∠ACB内作射线CM看作在线段AC′上任取一点M,过C,M作射线CM,则概率为AC′AB等于ACAB等于22.

错因分析：上述作法好像很有道理,为什么错误呢?值得深思.考查此解法是否满足几何概型的要求,虽然在线段上任取一点是等可能的,但过点C和任取的点所作的射线是均匀的,因而不能把等可能取点看作等可能作射线,在确立基本事件时,一定要选择好观察角度,注意判断基本事件的等可能性.

正解：在∠ACB内的射线CM是均匀分布的,所以射线CM作在任意位置都是等可能的,在AB上取AC′等于AC,则∠ACC′等于67.5°,故满足条件的概率为67.5°90°等于34.

易错剖析五：互斥与对立事件相混淆致误

例5把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是：.（填写“对立事件”、“不可能事件”、“互斥但不对立事件”）

错解：对立事件.

错因分析：本题的错误在于把“互斥”与“对立”混同,要准确解答这类问题,必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别：两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立；互斥的概念适合多个事件,但对立概念只适合于两个事件；两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生；两事件对立则表示他们有且只有一个发生.

正解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事件可能恰好有一个发生,也可能两个都不发生,所以应选“互斥但不对立事件”.

易错剖析六：混淆互斥事件与相互独立事件致误例6一个通讯小组有A、B两套通讯设备,只要有一套设备正常工作,就能进行通讯,A、B设备各有2个、3个部件组成,只要其中有1个部件出现故障,这套设备就不能正常工作,如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都为p,试计算在这段时间内能进行通讯的概率.

错解：由题意知：在某段时间内A、B两套通讯设备能正常工作的概率分别为P（A）等于p2,P（B）等于p3,则在这段时间内能进行通讯即A、B至少有一个能正常工作,故在这段时间内能进行通讯的概率为P（A+B）等于P（A）+P（B）等于p2+p3.

错因分析：题中A、B两套通讯设备能正常工作这两个事件是相互独立的,上面所用的公式是两个互斥事件有一个发生的概率,互斥与独立是不同的两种关系,一般没有必然联系,不能混淆,把互斥结果套用在独立事件中是错误的,只有当A、B中一个是必然事件,另一个是不可能事件时,A、B既是互斥事件,又是独立事件.

正解1（逆向思考）：A、B至少有一个能正常工作的对立事件为：A、B都不能正常工作,A不能正常工作的概率为1-p2,B不能正常工作的概率为1-p3,则在这段时间内能正常进行通讯的概率为1-（1-p2）（1-p3）等于p2+p3-p5. 正解2（正向思考）：A、B两套通讯设备在这段时间内能进行通讯这一事件包括：A正常B不正常,A不正常B正常,A、B都正常,且这三个事件彼此互斥.故在这段时间内能正常进行通讯的概率为p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2p3等于p2+p3-p5.

易错剖析七：忽视公式成立的条件致误

例710张奖券中有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中,恰好有1人中奖的概率为（）

（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3

（C） 310（D） 3A27A13A310

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错解：因题中有“恰好有1人中奖”,根据n次独立重复试验恰好出现k次的概率计算公式Pn（k）等于Cknpk（1-p）n-k,马上得到答案（B）.

错因分析：用独立重复试验的概率公式进行计算时,它有三个前提条件：

（1）每次试验都是在同一条件下重复进行的；

（2）每一次试验都彼此独立；

（3）每一次试验出现的结果只有两个.

只有这三个条件均满足才可使用,而此题中3个购买者去购买奖券时,由于是不放回抽样,所以彼此之间不独立的,则不能用上述公式解答.

正解：3个人从10张奖券中各购买1张奖券出现的结果数为A310个,且出现的可能性均等,恰好有1人中奖出现的结果为3A27A13,故恰好有1人中奖的概率为3A27A13A310,选（D）.

易错剖析八：求概率过程中把有序还是无序混为一谈致误例8一个口袋装有6只球,其中4只白球,2只红球,从口袋中取球两次,第一次取出1只球不放回口袋,第二次从剩余的球中再取1球,求取到的2只球中至少有一只白球的概率.

错解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球,1只白球1只红球,故取到的2只球中至少有1只白球出现的结果数为A24+A12A14,依据等可能性事件的概率的求法,则取到的2只球中至少有1只白球的概率为A24+A12A14A26等于23.

错因分析：这是古典概率常见的模型