数学论文的含义及类型

什么是数学论文?论文的特点、写作意义厦论文的类型、撰写的要求等问题，先前很少有人专门论及，本节加以探讨。

一、数学论文写作意义

1数学论文的含义

什么是论文?简言之，议论型诸文字即称论文。日本大辞典《广辞苑》对论文一词诠释是：

(1)议论性文章，说理性文章，记述政治、措施的文章。

(2)公布研究成果或结果的文章。

这里所说的数学论文，是诠释(2)所指的一种。由此，数学论文的含义可以说成：由数学内容构成的，以议论的方式表达自己的见解和说理的文章．称为数学论文。

数学论文是指描述数学科学中的研究成果的文章。如在数学教育、数学教学中的研究和探讨；在数学科研中探索数学规律；在数学应用中分析、论证等方面的文章，都是数学论文。数学论文多为议论文也叫论说文，通常由论点、论据和论证过程组成。人们习惯上称这些为议论文的三要素。

数学论文是学术论文中的一类，它既是进行数学科研的一种手段，又是描述数学研究成果的一种工具。

2数学论文的特点及要求

数学论文属于议论文范畴，它与一般的议论文相比较，既有共同点，又有不同点。其共同点，都是直截了当地提出作者的见解、主张，阐述事理，揭示事物的本质和规律；在表述见懈、主张时，都是运用概念、判断、推理的逻辑方法}它们的功能特征都是以理服人；它们的构成要素都有判断和证明；它们的篇章结构一般是三段式：

绪论本论结论。

除了共同点以外，还有不同点，这些不同点，就构成r数学论文本身的特点。这主要是：

(1)科学性

数学论文的科学性主要是指作者能用科学的思想方法、科学的研究方法进行论述，并得出科学的结论。主要体现在：

①逻辑的严谨性

数学沧文应按照逻辑严谨性的要求去写，不然就不成其数学论文了。一篇数学论文要无懈可击，要经得起推敲。就是说，概念要清楚．判断、立论、推理要正确，绝小能含糊、更不能臆造。

②语言的简洁性

数学论文要求语言，以恰到好处的语言，准确地表达数学概念和逻辑推理；以简明的语言，表达出最精湛的数学结果，反映出丰富的数学内容。

例如，在推证的过程中，并不是每一步都要写出理论根据。数学论文不是教科书，它是给同行看的，推理过程以同行看懂为原则，证明步骤不需写得过细，允许有较太的跳跃。特别是常见的推理步骤、明显的推理过程、显然的理论根据，可以一笔带过；常用的概念、定理注明出处，尽力少作解释；不使用文学性的修饰和夸张性及定义模糊的语言。这样才能更好地体现出论文的特点。

③符号的广泛性‘

在数学论文中，广泛地使用数学符号和由符号组成的式子，形成了一套数学符号系统，它与自然语(汉语叙述)一样承担着储存和传递数学信息的职能。使用符号时必须规范、准确，国内外通用，不能臆造，否则就违背了论文的科学性。

(2)创见性

刨见性是衡量数学论文价值大小和水平高低的主要标准。因为科研的意义就在于创造、发现、创新。这就要求作者具有自己的独立见解，善于发现新问题、新规律、新方法。主要体现在：

①开拓未知领域

具有创造性的数学论文，它要求作者在某个领域、某个方向或在某项专门技术上有明显的突破性的研究，从中发现别人没有发现或投有涉及的问题，取得了创造性的成果。②确立的课题新

具有创见性的数学论文是指作者利用已有的理论和方法解决了新的问题，取得新的研究成果或将其他学科理论、方法引入本学科，解决了本学科中有价值的问题}或从不同角度上揭示出某种新规律、新方法。

(3)实用性

数学论文是数学工作者深^研究的结晶，不仅具有一定的学术水平，还具有理论上的价值和实用上的价值。

高水平的数学论文既丰富了数学科学的理论，又能解决高新科学技术的问题．转化为社舍生产力。

数学论文的实用性还在于理论上的价值，能够指导实践。使广大数学工作者进一步认识数学教育、数学教学的本质、把握其规律、为进一步提高教学质量起到“引导”、“帮助”，“提供”的作用。

3．撰写数学论文的意义

国内外对数学论文写作十分重视．把论文写作作为“信息传递”的基础科学．列为大学必修课。其意义是不盲而喻的，主要体现在心下几个方面：

(1)交流、传播科研成果

早在1950年，美国就开始在理工科大学里开设科学技术写作课，并设立了博士、硕士学位，写学位论文；近期，美国社会学家约翰·奈斯比特在《大趋势》一书中，论及工业社会向信息社会过渡时指出：有五种最重要的事情应该牢记，其中之一就是“在文字密集的社会里，我们比以往更需要具备基本的读写技巧”；日本的一个研究生院院长在著作中写到：经过调查，许多理工科毕业生认为，对他们最有用的且需要加强的课程，“一是代数，二是物理，三县写作”．

我国也越来越重视理工科毕业生的毕业设计、毕业论文写作、学位论文写作，要求他们是文理兼优的“通才”。

高新技术的本质是数学技术，它是由数学论文反映出来的。通过论文的交流、传播，能反映出一个国家、一所学校的“水平”。

(2)提高数学工作者自身素质和能力

数学论文的写作，对于数学工作者，是必须具备的最基本的能力之一，它是构成数学教育、数学教学和科研工作者合理的智能结构的必要条件。中国科学院前院长卢嘉锯曾说过：“一个只会创造不会表达的人。不能算一个合格的科学工作者。”因此，作为数学工作者，应该把撰写数学论文视为必备的科研能力。在撰写数学论文的过程中，会使自己不断提高教学和科学能力。

(3)培养教学、科研人才

数学工作者高水平的数学论文，在国内外引起人们的美注，解决了高新技术问艇，为国争光，对指导、培养年轻一代发挥了巨大作用。

我国教育界不少工作在第一线的教师之所以能在全省或全国具有很高的知名度．这不但与他积极从事教育有强烈的事业心相关，也与他们发表的教学论文，取得的科研成果有一定关系。也可以这样说，他们结合教学、科研不断探索、创作，渗透着自己的心血，是自我培

养、自我提高的过程，他们刻苦创作的精神，教育、激励着年轻一代，他们的论文丰富了基础数学内容，为提高教学质量，提高科研水平，培养人才做出贡献。

(4)为职务晋升创造条件

在有关职称评定、职务晋升的文件中，明确规定了发表论文的数量和刊物级别，即科研成果是晋升的重要依据之一。所以撰写数学论文，应该是每一位数学工作者必须具备的一项基本功。

二、数学论文的类型

数学论文的范围是广泛的。

从发表形式上看，数学论文可以分为两大类；一类是内部交流的论文，一类是刊物上公开发表的论文。

公开发表的数学论文，按论文的内容、水平、价值、创作新意等周索进行分类，可分为以下几种类型；

数学教学研究论文

数学思想方法论文

数学应用论文；

数学专题研究论文；

数学学位论文

研究简报。

学位论文包括大学本科生毕业论文(学士论文)、硕士论文、博士论文，统称学位论文。上述分类，没有绝对界线。这样分类有益于论文的写作。

1．数学教学研究论文

数学教学研究论文，是教师在数学教育钡域里，对数学教育的目的、课程设置、教学工作评价等方面的研究而写成的文章是教师在数学教学领域里．改革教学内容、改进教学方法、数学理论研究等方面写成的文章。

这种类型的数学论文在教育工作者和教师、教学研人员中普遍应用。

例如：

《面向21世纪的中国数学教育改革》(严士健)一

《当代国际数学教育目的及目标之比较》(范良火)

《面向新世纪的高中数学课程》(丁尔升)；

《数学教育现代化同题》(吴文俊)

《大众数学势在必行——兼论21世纪中国数学教育展望研究》(刘兼)等论文在国内外引起关注。

正如张孝达在《21世纪中国数学教育展望》书中的序言写到“80年代以来，各发达国家纷纷提出教育改革的报告、方针或方案。总的来看，是面向21世纪，为适应高科技信息社会更加剧烈世界市场竞争的需要。有的，如美国着重在提高劳动者的素质的，如日本强调个性化，培养一流的杰出人才。从整个教育来说，既能培养出合格的劳动者，叉能培养出一流的杰出科学技术和济管理人才，谁就能占有21世纪。这是我们考虑数学教育改革一个首要的主导思想”。

还有各种数学刊物、大学学报上发表的论文：

《高师数学教育专业课程设置与教材建设》

《积分运算中应注意的几个问题》

《向量组线性相关性的几种证明方法》；

《构造概率模型的解题策略》

《黎曼积分与勒贝格积分的本质区别》等都是教学研究论文。

这类论文对教育科研、教学研究、提高教育质量、培养人才着重要的指导意义，有的具有相当高的学术价值、理论价值和应价值，贬低或回避这类论文是不可取的。

2数学思想方法论文

数学思想方法论文．是一种研究数学思想方法，运用数学思想方法而写戚的文章。这种类型的数学论文，是在数学与哲学交叉的领域里，探讨揭示数学的思想方法、思维过程，数学的发现、创新、发展规律。有哲学意义，突出数学史，涉及的知识面广，具有理论化，更带有自律性，更具有理论指导性。

例如：

《教学观念的培养——数学思想方法太众化研究之一》(刘兼)；

《大众数学与中国古代数学思想》(张孝达)；

《强化整体意识，培养辩证思维》；

《浅谈加强数学思想方法教学的途径》；

《数学教学中应十分重视审美教育》I

《关于数学猜想的几个问题》。

上述论文都属于数学思想方法论文范畴。

3．数学应用论文

数学应用论文，是指数学应用于实际，运用已掌握的数学知识分析、论证数学自身和解决实际问蹶而写成的文章。

数学应用论文，其内容突出数学应用于实际．其方法着重涉及数学模型方法。这样．数学应用论文可分为简单型的和复杂型的。

前者就是作者运用已掌握的数学知识解决实际问题而写成论文，后者是作者运用已掌握的数学知识，对复杂的实际问题，通过建立数学模型而写成的论文。

这类论文的功能在于预测事物未来的状态和变化，借助数学髓型事先推断某现象的存在．再通过观察、实验、上机计算、推证，去确认数学模型预见的正确性，这是现代科学的一种重要手段。

例如；

《一类条件极值问题的处理》

《擞积分在经济问题中的应用》

《简单排队问题的数学模型》

《一类灰色投入产出优化模型的设计与应用》。

上述论文都属于数学应用论文范畴。

4数学专题研究论文

数学专题研究论文，是作者对数学学科、边缘学科特定领域、恃定问题进行研究，对创造性研究成果进行理论分析、论证的文章。

这种类型的数学论文的内容、观点、结论在所研究的领域内，具有一定的开拓性、创新性，发现有价值的新问题、新方法、新理论、新规律，具有创造性，具有一定的理论高度和应用价值。

例如：

《Hamilton半群的结构》；

《完备向量中凸集分离定理》；

《羌于移位自映射浑沌性的简化证明》。

上述论文都属于数学专题研究论文的范畴。

5学位论文

在我国“学位条例”中明确规定：

毕业论文(学士论文)是数学专业大学本科应届毕业生，运用所学知识写成的数学论文(详见第六章)。

硕士学位是一个独立学位，并具体提出r授予硕士学位的学术水平为：在本门学科上掌握坚实的基础理论和系统的专门知识具有从事科学研究工作或担负专门技术工作的能力。硕士学位论文是在教师指导下，由研究生本人独立完成的数学论文。

博士生是我国人才培养中的最高层次·授于博士学位的学术水平为：在本门学科上掌握坚实宽广的基础理论和系统·深入的专门知识．具有独立从事科学研究工作的能力}在学科或专门技术上做出创造性的成果。博士学位论文就是博士生独立完成的有创造性成果的数学论文(本书对硕士论文、博士论文写作，从略)。

6．研究简报

有些数学专题研究论文常以研究简报形式发表，它区别于其他体裁论文内容的鲜明特点是精、短、快。即内容精，篇幅短，发表周期快。文章只是反映作者从事某项学术研究的最主要的方法和结论，而摒弃丁一般专题论文中对某个论点的详细论证过程，但作者的主要观点和独到的研究方法应一目了然。

数学含义篇二：数学概念的定义形式

数学概念的定义方式

一．给概念下定义的意义和定义的结构

前面提到过，概念是反映客观事物思想，是客观事物在人的头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的，要用词语表达出来，这就是给概念下定义。而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。所以，概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义叫内涵定义，揭示概念外延的定义叫做外延定义。在中学里，大多数概念的定义是内涵定义。任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项是需要明确的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联接被定义项和定义项的。例如，在定义“三边相等的三角形叫做等边三角形”中，“等边三角形”是被定义项，“三边相等的三角形”是定义项，“叫做”是定义联项。

二、常见定义方法。

1、原始概念。数学定义要求简明，不能含糊不清。如果定义含糊不清，也就不能明确概念，失去了定义的作用。例如，“点是没有部分的那种东西”就是含糊不清的定义。按这个要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。比如：代数中的集合、元素、对应等，几何中的点、线、面等

2、属加种差定义法。这种定义法是中学数学中最常用的定义方法，该法即按公式：“邻近的属+种差=被定义概念”下定义，其中，种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别，即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。例如，平行四边形的概念邻近的属是四边形，平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”，这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。

利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义，一般情况下，应找出被定义概念最邻近的属，这样可使种差简单一些。像下列两个定义：

等边的矩形叫做正方形；

等边且等角的四边形叫做正方形。

前者的种差要比后者的种差简单。

邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式：

（1）发生式定义方法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。例如，“在平面内，一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。在其中，种差是描述圆的发生过程。

（2）关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。例如，若ab=N，则logaN=b(a＞0，a≠1)。即是一个关系定义概念。

3、揭示外延的定义方法。数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。常见的有以下种类：

（1）逆式定义法。这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法．例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法．

（2）约定式定义法。揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因而也称约定式定义方法。例如，a0=1(a≠0)，0！=1，就是用约定式方法定义的概念。

三、概念的引入

（1）原始概念

一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。

“针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是直观说明法，“1，2，3，···叫做自然数”是指明对象法。

（2）对于用概念的形成来学习的概念

一般可通过阅读实例，启发学生抽象出本质属性，师生共同进行讨论，最后再准确定义。

（3）对于用概念的同化来学习的概念

（a）用属加种差定义的概念

新概念是已知概念的特例，新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。

（b）由概念的推广引入的概念

讲清三点：推广的目的和意义；推广的合理性；推广后更加广泛的含义。

（c）采用对比方法引入新概念

当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系，但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。

关键是弄清不同之处，防止概念的负迁移。

（d）根据逆反关系引入新概念

多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。关键是弄清逆反关系。

(4)发生式定义

通过阅读实例或引导学生思考，进行讨论，自然得出构造过程，即揭示出定义的合理性。

四、概念的形成的方式

概念形成就是让学生阅读大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性，从而形成概念。因此，数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。可概括如下：

（1）通过阅读比较，辨别各种刺激模式，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括。

（2）分化出各种刺激模式的属性。

（3）抽象出各个刺激模式的共同属性。

（4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。

（5）概括，形成概念。

（6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。

（7）用习惯的形式符号表示新概念。

数学概念的定义

什么叫给概念下定义，就是用已知的概念来认识未知的概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义．概念的定义都是由已下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未

知概念)这两部分组成的．例如，有理数与无理数(下定义的概念)，统称为实数(被下定义的概念)；平行四边形(被下定义的概念)是两组对边分别平行的四边形(下定义的概念)．其定义方法有下列几种．

1、直觉定义法

直觉定义亦称原始定义，凭直觉产生的原始概念，这些概念不能用其它概念来解释，原始概念的意义只能借助于其它术语和它们各自的特征给予形象的描述．如几何中的点、直线、平面、集合的元素、对应等．原始概念是人们在长期的实践活动中，对一类事物概括、抽象的结果，是原创性抽象思维活动的产物．直觉定义为数不多．

2、“种+类差”定义法

种+类差”定义法：被定义的概念=最邻近的种概念(种)+类差。这是下定义常用的内涵法。“最邻近的种概念”,就是被定义概念的最邻近的种概念,“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。

例如,以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性,“邻边相等”就是“菱形”的类差。我们先看几个用“种+类差”定义的例子:

等腰梯形是两腰相等的梯形．

直角梯形是有一个底角是直角的梯形．

等腰三角形是两边相等或两角相等的三角形．

逻辑上还可以通过总结外延给出定义．例如：“有理数和无理数统称为实数”等．

由上述几例可看出,用“种加类差”的方式给概念下定义,首先要找出被定义概念的最邻近的种概念,然后把被定义概念所反映的对象同种概念中的其它类概念所反映的对象进行比较,找出“类差”,最后把类差加最邻近的种概念组成下定义概念而给出定义。种加类差定义法在形式逻辑中也称为实质定义,属于演绎型定义,其顺序是从一般到特殊。这种定义,既揭示了概念所反映对象的特殊性,又指出了一般性,是行之有效的定义方法。由于概念本身的类别特点及类差性质的不同,在叙述形式上也有差异。

这种定义方法，能用已知的种概念的内涵来揭示被定义概念的内涵。揭示了概念的内涵，既准确又明了，有助于建立概念之间的联系，使知识系统化，因此，在中学数学概念的定义中应用较多．

3、发生式定义法

发生定义法(也称构造性定义法):通过被定义概念所反映对象发生过程，或形成的特征的描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法称发生定义法。这种定义法是“种+类差”定义的一种特殊形式。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征,而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。

例如，平面(空间)上与定点等距离的点的轨迹叫做圆(球)．此外，中学数学中对圆柱、圆锥、圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法．

又如：

平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．

围绕一中心点或轴转动，同时又逐渐远离的动点轨迹称为螺线．

一直杆与圆相切作无滑动的滚动，此直杆上一定点的轨迹称为圆的渐开线．

设是试验E中的一个事件，若将E重复进行n次，其中A发生了次，则称为n次试验中事件A发生的频率．

在一定条件下，当试验次数越来越多时，事件A出现的频率逐步稳定于某一固定的常数P，称P为事件A出现的概率．

由此可知，只要有人类的数学活动，就有概念的发生式定义．

4、逆式定义法

这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法．例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法．

5、约定性定义法

由于实践需要或数学自身发展的需要而被指定的数学概念．在实践活动中，

人们发现一些概念非常重要，便指明这些概念，以便数学活动中使用．比如一些特定的数：圆周率、自然对数的底e等；某些重要的值：平均数、频数、方差等；某类数学活动的概括：比如代数指研究有限多元素有限次运算的数学活动；几何指研究空间及物体在空间结构中结构与形式的数学活动；随机事件指在社会和自然界中，相同条件下，可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中其出现的频率呈现稳定性的事情；概率指随机事件发生的可能性大小的数学度量；等等．

同时，数学概念有时是数学发展所需要约定的．如零次幂的约定，模为零的向量规定为零向量，模为1的向量规定为单位向量．又如矢量积的方向由右手法则规定．数学教学中应向学生灌输这样一种观念，即数学概念是可以约定的(其更深刻的含义是数学可以创造)．约定是简约思想的结果，它使得数学因为有了这样的约定而运算简便．约定不是惟一的，但应具有合理性或符合客观事物的规律．如规定矢量积的方向按左手法则也不是不可以的．约定不是随意针对的，一般只约定那些有重要作用的概念，如约定当n趋于无限大时的极限为自然对数的底e，因为这个数对计算十分重要．

6、刻画性定义

刻画性定义法亦称描述性定义法，数学中那些体现运动、变化、关系的概念经严格地给予表述(逾越直觉描述阶段)，这些概念即属于刻画性定义．比如等式函数、数列极限、函数极限等概念．

函数概念：设D是实数集的子集，如果对D内每一个，通过给定的法则，有惟一一个实数y与此对应，称是定义在D上的一元实值函数，记为概念中刻画了变量y与变量的关系．数列极限概念：对于数列{}和一个数，如果对任意给定的正数，都存在一个自然数，对一切自然数n，，成立，称数n是数列{}当n趋于无限大时的极限，记为．概念中刻画了与“要多么接近就可以多么接近(只要)”的程度，使“无限接近”的直觉说法上升到严格水平．

函数极限概念：对于在附近有定义的函数和一个数A，如果对任意给定的正数，都存在一个正数，对定义域中的x只要，成立，称数是当趋近于时的极限，记为，概念中刻画了与A“要多接近就可以有多接近（只要）”的程度，是严格的数学概念。

7、过程性定义

有些复杂的数学概念是由在实践基础上的数学活动造就的，这样的概念由过程来引导．例如：导数：设y=f(x)在点(x0,f(x0))附近有定义．当自变量x取得改变量△x(△x≠0)，函数取得相应改变量△y=y-y0，比值，当?x?0时?y

?x的极限存在，这个极限值就称作的

导数，记作f?(x).导数概念通过“作改变量——作商——求极限”的过程获得．

定积分：设有界函数定义在[]上．在[]中插入分点：取，作和令当时，和的极限存在，这个极限值称作在[]上的定积分．定积分概念通过“分割[](插入了分点)一作和一求极限”的过程获得．

此外，数学中的概念还有其他给出方式．如n维向量空间的定义：“n为有序实数组()的全体，并赋予加法与数乘的运算

()+

”．它是二维向量空间{}的类比推广．再如“群”和“距离空间”的概念，则是用一组公理来定义的．公理法定义的方式多用于高等数学，中学中涉及得很少．

此外，中学数学中还有递推式定义法(如"阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)，借助另一对象来进行定义(如借助指数概念定义对数概念)等等．

上述分类是大致的，学习概念的定义，并不在于区分它究竟属于那种定义方式，而在于理解概念的内涵，把握概念的外延，应用它们去学习数学知识和解决有关问题。

为了正确地给概念下定义，定义要符合下列基本要求：

(1)定义应当相称．即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小．即应当恰如其分，既不宽也不窄．例如，无限不循环小数，叫做无理数．而以无限小数来定义无理数(过宽)，或以除不尽方根的数来定义无理数(过窄)．显然，这都是错误的．

(2)定义不能循环．即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，

而同时又以B概念来定义A概念．例如，的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做1度，这就发生循环了．

(3)定义应清楚、简明，一般不用否定的形式和未知的概念．例如，笔直笔直的线，叫做直线(不清楚)；两组对边互相平行的平面平行四边形(不简明)；不是有理数的数，叫做无理数(否定形式)；对初中生来说，在复数a+i中，虚部6—0的数，叫做实数(应用未知概念)等，这些都是不妥的．

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