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内容摘 要 ：在分形市场研究的框架下,R/S分析方法是进行价格行为特性分析的重要工具,对R/S方法的运用与改进研究是金融市场研究的一个重要方向.本文对经典R/S方法和改进的R/S方法进行了讨论,并进行了实证对比分析.

关 键 词 ：分形 分数布朗运动 R/S分析 赫斯特指数

有效市场理论是当今关于金融资本市场的主流经济学理论,其随机游动版本更成为了现代资产组合理论的理论基石.主流资本市场计量理论总的说来是依赖于随机游走模型和收益率的正态分布的.

以上假定无疑对构建现代投资理论起了决定性的作用,它极大地简化了数学模型的推导.然而,多年来有关收益率分布及现代投资理论适用性问题的大量实证研究却不断对此提出质疑.

价格行为的分形特征

国外学者很早已经发现,收益率的分布明显异于正态分布,具有“尖峰”和“胖尾”（概率密度曲线在均值附近有更高的峰度值和尾部过多的观测值）.Mandelbrot将之称为“稳定帕累托”（Stable Paretain）分布,即分形分布,其统计特性最初由Levy提出.其特征函数为：

其中,γ是尺度调整参数；α是特征指数,0<α≤2,它与密度函数的峰度和尾部胖度有关,这里,α=1/H,H就是赫斯特指数；β是偏斜度的度量,-1≤β≤+1,β=0时,分布是对称的；δ是位置参数,表示均值的位置.

当α等于2,β等于0,δ等于1,γ等于1时,密度函数变成正态分布,可见正态分布是分形分布的一个特例.只有当α等于2时,方差有限且稳定,因此,只有价格是随机游走时,方差才是重要的描述风险的信息.除此之外,方差是无定义的或可能是无穷的,这时,作为风险度量的样本方差是无意义的.

价格运动也不是遵循随机游走,而是服从Mandelbrot称之为“分数布朗运动”（FBM）的有偏随机游动,我们现在称之为分形时间序列.

分数布朗运动与普通布朗运动最重要的区别,是分数布朗运动不再是独立的增量过程.给定一个从-T到0的过去增量,则未来从0到T的增量,与过去增量的相关性可表示为：

其中：C指相关性度量；H指赫斯特指数.

赫斯特指数有三种不同的类型：H等于

0.5、0≤H<0.5、0.5

H等于0.5时,C（T）等于0,表明时间序列是随机和不相关的；0≤H<0.5时,表明这一类型的系统是反持久行的或称为“均值回复”.含意为如果价格在前一段时间里增加,则将来多半降低；反之,它在过去是向下的,则下一期多半向上走；0.5

赫斯特指数对于研究时间序列是一个重要的统计量,它可以将随机序列与非随机序列区分开来,并对时间序列分类.重标极差分析（rescaled range analysis）,即R/S分析,是计算赫斯特指数H值,判断时间序列的长期记忆特征的有效工具.目前,在金融市场分形实证研究中广泛使用的R/S分析方法主要有两种,即经典的R/S分析方法和Lo的改进的R/S分析方法.

经典R/S方法及评价

经典的R/S方法是与Lo的改进的R/S分析方法相对而言的.经典的R/S方法,是在赫斯特提出的实证规则的基础上,后经Mandelbrot 和Wallis重新定义的一种时间序列统计方法.赫斯特建立了如下的关系：

R/S等于C*NH

其中：R/S指重标极差；R指时间序列样本累积离差的极差；S指时间序列样本的标准差；N指观测次数；C指常数；H指赫斯特指数.

将上式取对数,就得到：

log(R/S)等于Hlog(N)+log(C)

取不同的样本数N,可得到一系列的R/S值,做回归分析后,该直线方程的斜率就是赫斯特指数H.

早期的R/S分析的缺点是缺少显著性检验,Peters在Hurst和Anis和Lloyd工作的基础上,提出了用如下方程来计算期望值E（R/S）n：

H与E（H）的显著性由下式决定：

其中,E（H）的方差为：

Var(H)n等于(1/T)0.5

这里T为样本总容量.

如果系统是独立同分布的（IID）,那么计算H值与期望H值不应有显著差异.反之,则拒绝零假设,说明系统异于独立同分布.

如果实证结果表明,收益率序列具有持久性特征,那么下一步是估计长期记忆期的长度.记忆期的长度可以用V统计量来估计：

当该过程是独立的随机过程时,该比值是一个常数；如V随着时间的推移而增加,则说明系统具有持久性特征,当V开始显著下降时,表明长期记忆期结束.

国外学者运用经典的R/S方法,已经在不同的资本市场中揭示长期记忆性的存在,这些市场包括股票市场、货币市场以及各种经济指数等等.然而,对经典的R/S分析并不是没有具有挑战性的声音,Lo对经典的R/S方法提出了改进意见.国内的学者也有类似的研究,但使用修正的R/S方法的研究数量很少.

改进的R/S方法及评价

Lo认为尽管R/S分析具有强健性等优点,但经典的R/S分析最重要的缺点是对短期依赖的敏感性.短期依赖和长期依赖的区别是时间序列的自相关关系衰减的快慢.按照Lo的观点,经典的R/S分析不能区分序列中的长期依赖性和短期依赖性.在IID的零假设下,R/S分析所察觉到的时间序列的长期依赖性特征,有可能来源于短期依赖,而不是长期依赖性存在的结果.

为了消除短期依赖性对R/S分析的影响,Lo提出了改进的R/S分析方法.Lo将经典R/S分析中的极差S用S'代替：

其中,第二项为加权的自相关估计式,q为迟滞因子（truncation lag）,n为样本容量.这里,Lo用加权的自相关估计式来消除短期记忆的影响.权重ωk(q)定义为：

Lo认为改进的R/S分析方法可以排除短期依赖对检验长期依赖的影响.Lo分别应用改进的R/S方法和经典R/S方法对股票的日、月收益数据进行了实证研究.结果表明,使用改进的R/S方法后,用经典R/S方法所检验出的长期依赖性的证据消失,即股票时间序列中不存在长期依赖性.

Lo的改进的R/S方法已经在实证研究中得到广泛应用,Mulligan,Robert.F.使用两种R/S方法对包括英国、加拿大、澳大利亚、芬兰、法国、德国、爱尔兰、日本、马来西亚、荷兰、瑞典和瑞士在内的22个国家的汇率市场进行了检验,结果表明,所有22个国家的汇率市场都表现出显著的长期依赖和分形组织特征,依赖期从7到22个月不等.而John S. Hove等学者,用经典R/S方法和Lo的改进的R/S方法,检验了包括日本、韩国、中国香港、新加坡、澳大利亚、中国台湾在内的六个国家和地区的股票市场,结果发现使用经典的R/S方法发现了长期依赖等非线性系统的存在,然而,当使用Lo的改进的R/S方法加以研究时,所有的长期依赖特征消失了.笔者用两种R/S方法对中国股票市场进行了分析,得出了中国股市具有持续性、记忆性特征的结论.

然而,尽管Lo的方法是对经典R/S方法的理论上的改进,但在实际运用中却有一系列的问题.其中,最重要的是,应用该方法得到的结果与迟滞因子q的选择有较强的关系,并随着q的增大,V统计量有强烈地偏向接受零假设（没有长期依赖性）的趋势.而q的选择也是一个问题,Andrew和Lo给出了当短期相关性用AR（1）模型表示时,q值的选择方法：

其中,ρ是 AR(1)过程的自相关系数的估计值.

在实际应用时,最优q值的选择必须依赖实际所研究的时间序列数据的模型,而这恰恰是我们所不知道的.Vadim的实证研究表明,q的选择是一项困难的工作,太小的q值,不足以补偿短期依赖效应；过大的q值会引起过度补偿；如果使用随q增大而趋于稳定的V统计量作为检验的标准更行不通,因为这时V统计量几乎全部处于接受零假设的区域内.如果我们使用Lo的改进的R/S方法得出拒绝零假设的结论,我们有理由相信该序列是长期依赖的.但如果使用Lo的改进的R/S方法,结论是接受零假设,则我们不能立刻得出时间序列不具有长期依赖性的结论,还必须得到其他方法的实证支持.

实证算例

R/S分析要求有较多的样本数据.本文使用了上证综合指数和深证成分指数截止到2010年5月30日的近10年日数据进行分析.其中,上证综合指数共2400个数据,深圳成分指数共2352个数据进行计算分析.在分析过程中,当上证综合指数在子样本容量在300时,深圳成分指数子样本容量在294时,V统计量发生规律上的转折.表1和表2给出实证研究的结果.

从实证研究的结果上看,根据R/S方法,上证综指和深证成指的赫斯特指数分别为0.637和0.673,且二者都与期望值有显著差异.但根据修正的R/S方法的计算结果表明,两市指数的计算结果都不显著,表明没有充分理由说明两市的指数具有长期记忆性的分形结构.

结论

R/S方法是检验时间序列是否遵循独立、同分布假设的有效方法.其中,经典的R/S方法还可以得