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摘 要 ：金融衍生产品的定价对于美国次贷危机的爆发具有重要的影响.其定价的偏误更是最关键性的技术环节.虽然早在上世纪70年代,布莱克与斯科尔斯发明了期权定价公式,但是复杂金融衍生产品的定价问题其实还远远没有解决.现代金融衍生产品设计复杂,其定价过程难以运用解析方法,数值方法是当前定价的主流手段.数值方法分为连续型与离散型两类,离散型方法由于操作简单,对计算能力要求较低,在较长一段时间内得到了广泛的运用.但离散型方法在定价精确性以及后处理方面与连续型方法存在较大差距.随着金融风险复杂性的加剧以及计算技术的不断提高,连续型方法逐渐受到重视.本文将对各种定价技术进行简单回顾,讨论相关方法的优劣,并提出适合中国金融机构定价方法的建议.
关 键 词 ：金融衍生产品；定价；数值方法
中图分类号：F830 文献标识码：B 文章编号：1007-4392(2009)08-0007-03
一、研究背景
2007年美国次贷危机爆发,经济衰退逐渐波及我国,对于此次金融危机爆发的原因,理论界与学术界众说纷纭,各方都比较认可的一点便是金融衍生产品在其中起到了举足轻重的作用,其定价的偏误更是其中最关键性的技术环节.我国商业银行开展金融衍生产品业务始于1997年.人民银行允许中国银行首家试点办理远期结售汇业务.2002年12月,中国银行在上海推出国内首个基于外汇期权交易的个人外汇投资产品“两得宝”,从而打破了国内银行个人金融衍生业务的空白.2003年5月,中国银行上海分行向市场推出了外汇期货宝,拉开了外汇衍生业务在国内进&#
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二、金融衍生产品定价历史沿革
早在18世纪欧洲和美国就已经有了简单的期权交易,到了20世纪70年代,期权交易在投资者中开始普及.特别是1973年布莱克和斯科尔斯合作建立了期权定价模型,为期权交易提供了有利的工具,使得期权交易越来越扩大,以致于到了80年代初期,虽然不同的交易所交易量不同,但是总体上看,有些交易所的每日交易的期权合约规定的标的股票总数超过了某些交易所股票本身的交易量.期权交易的迅速发展既说明了它本身具有的内在优势,也说明了在金融市场上期权交易对投资者起着越来越重要的作用很明显,期权定价是期权交易的核心问题,它在理论和实践上都有重要意义.
对于欧式期权,布莱克和斯科尔斯早已给出了解析形式的定价公式.经典的B-S方程把美式期权的定价问题,即决定美式最优执行价格问题,转化为决定抛物方程的自由边值问题与欧式期权不同,对于美式期权的价格不存在解析公式,也无法求得精确解.因此,发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义.数值方法可分为连续型方法与离散型方法两类,离散型方法由于操作简单,对计算能力要求较低,在较长一段时间内得到了广泛的运用.但离散型方法在定价精确性以及后处理方面与连续型方法存在较大差距.随着金融风险复杂性的加剧以及计算技术的不断提高,连续型方法越来越受到重视尽管人们早已提出可用偏微分方程数值方法如有限差分法和有限元方法等来近似求解此类问题.但有关数值方法,特别是连续型数值方法的理论分析如收敛性和稳定性方面的工作还很不完善.
三、金融衍生产品定价的数值方法分析
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(一)金融衍生产品定价的离散型数值方法
离散型数值方法包括二叉树方法、蒙特卡洛方法以及有限差分法等,本部分将对这些方法进行分析介绍.
第一,二叉树方法.二叉树方法是由Cox、Ross和Robinstein提出,其基本概念是先求得风险中立假设下未来现金流量的期望值,再以无风险利率折现而得到期权的现值.CRR模型的基本假设有：(1)标的资产的未来价格只有上涨或下跌两种情况；(2)标的资产的未来价格上涨或下跌的报酬率已知,且投资人能利用现货市场及资金借贷市场,建立与期权报酬变动完全相同之对冲资产组合；(3)无摩擦之市场,亦即无交易成本、税负等,且证券可以无限分割；(4)借贷利率均相等,皆为无风险利率.由于二叉树方法是采用离散化的方式来处理价格,所以在期权的合约期内可以考虑股利发放的情况.而且.在树状结构完成以后,知道期权到期的可能价值,很容易推算先前结点的价位,并计算价格树上任何结点的理论价值.在每一结点.可以比较继续持有与立即执行的价值,从而选择一个最佳值.不仅可以取得每一点的合理价格,而且可以知道最理想的期权执行时间.所以二叉树方法也可以用于美式期权的计算.
第二,蒙特卡洛方法.蒙特卡洛模拟模拟方法也是一种数值计算方法,可以对欧式衍生证券进行估值.这种方法能处理较复杂的情况且计算的相对效率较高.它是由初始时刻的期权值推导未来时刻的期权值,只用于欧式期权的计算.蒙特卡洛模拟方法的基本思想是：假设已知标的资产价格的分布函数,然后把期权的有效期限分为若干个很小的时间间隔,借助计算机的帮助,可以从分布的样本中随机抽样来模拟每个时间间隔股票价格的变动和股票价格一个可能的运行路径,这样就可以计算出期权的最终价值.这一结果可以被看作是全部可能终值集合中的一个随机样本,用这个变量的另一条路径可以获得另一个随机样本.利用更多的样本路径可以得出更多的随机样本.如此重复几千次,得到T时刻期权价格的集合.对几千个随机样本进行简单的算术平均,就可求出T时刻期权的预期收益.蒙特卡洛模拟方法一般用于对标的股票的标准差为随机变量的期权进行分析,股票的价格和标准差的路径同时被模拟.任意时刻的标准差的值.决定了被抽样的股票价格的概率分布.
第三,有限差分方法.有限差分方法是控制股票期权价格演变的偏微分方程的一种数值方法,是通过用差商代替微商对方程以及定解问题离散化.有限差分法就是用有限地离散区域来替代连续地时间和资产价格.首先.把从零时刻到到期日T时刻之间的时间分为有限个等间隔的小时间段.其次,把资产价格的变化也分为M个等间隔的小价格段.如果划分合理.初始的资产价格会落在零时刻的一个格点上.时间、资产价格的期权价值都仅仅在相应的格点处离散计算.应用这些格点之间的关系和已知的边界条件,我们可以把连续偏微分方程转化为一系列的差分方程,逐次求解,就可以得到零时刻初始资产价格所对应格点 的期权价值.建立与偏微分方程对应的差分方程有多种方式.但从求解的方式来划分可以分为大类：一大类是显式差分格式.求解的过程是显式的,可以通过直接运算求出它值；另一类是隐式差分格式,求解的过程必须通过求解一个代数方程组才能得到的值.
(二)金融衍生产品定价的连续型数值方法
最优执行曲线必须作为定价模型解的一部分而求解,这使得金融衍生产品定价问题在理论和应用上都是很困难的.因此,到目前为止,我们还不能找到美式期权定价模型解的显示表达公式.在这一点上,美式期权定价问题完全不同于欧式期权定价问题.为了克服这一困难,人们通常使用适当的近似方法来给美式期权进行定价.
在过去的二十多年里,这个问题的研究分为两类,即解析近似方法和数值近似方法,而且关于这两种方法现在已有大量的文献.对于解析近似方法而言,典型的方法有插值方法,复合期权近似方法,二次近似方法等.对于数值近似方法而言,常用的方法有二叉树方法,蒙特卡洛方法、有限差分方法、有限元方法、遗传算法、区域分解算法等.为了除去经典的Black-Scholes模型的退化性,在数学上人们通常使用变量变换来做到这一点.然而,这样做同时又带来了一个新的困难：经变量变换后所产生的新模型需要在空间变量的无限区域上求解.
在实践上,人们为了克服这个新困难,就在一个大的但却有限的区域上数值求解这个新模型.于是,另外两个新的困难又出现了：计算机仿真必须在一个“大”的区域上进行,因而计算速度变得相对慢起来：必须施加一个人工边界条件,这影响了仿真的精度.特别地,当利率大于红利时,精度问题变得很严重,这是由于Black-Scholes偏微分方程中的对流项的固有性质所引起的.在数学上,一个新的非局部边界条件是准确成立的,并且它使得我们能够将原来问题转化为一个非常小的区域上的等价的变分不等式.数值实验表明与其它现有的方法相比,该方法提供了快速的期权定价手段.
四、结论与建议
首先,尽管布莱克与斯科尔斯早在上世纪70年代就提出了经典的具有完美解析形式的B-S公式,但是金融衍生产品的定价问题其实还远远没有解决,在定价的精确性、稳定性以及后处理方面存在诸多问题,这也是金融危机中衍生产品表现出定价严重扭曲的一个重要原因.
其次,就衍生产品定价的离散型数值方法而言,二叉树方法和有限差分在概念上相当类似,都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法,都适用于具有提前执行特征的期权,不太适合路径依赖型的期权.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接,能处理许多盈亏状态很复杂的情况,尤其是路径依赖期权和标的变量超过3个的期权,但是不擅长于处理美式期权,而且往往所需要计算时间较长.
最后,与传统的离散型方法相比.连续型方法理论更加完善,定价也更加准确,能够解决传统离散型方法存在的几个主要问题.但连续型方法计算能力要求高.模型构建相对复杂,目前难以适应普通金融机构的运作需要.随着金融风险复杂性的加剧以及计算机计算能力的提高,连续型方法的运用范围正逐步加大.是目前国际学术界关注的焦点,正逐渐被引入我国.
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