函数有关本科论文范文,与取绝对值函数的可微性相关毕业论文前言

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[摘 要 ]探讨了数学分析中关于取绝对值函数的求导问题,提出了判断绝对值函数导数的存在性以及求导的直接法,并将此法由一元推广到多元,给出了两类特殊函数求导的公式解.

[关 键 词 ]绝对值函数 可微性 导数 偏导数

一、前言

对于取绝对值函数的求导问题,在通常情况下,只能通过其定义求解,而下面给出的结论能够更全面、更简单的解决取绝对值函数的求导问题.

二、取绝对值的一元函数的求导问题

命题1：

若函数f（x）在区间（a,b）内可微,P0（x0）在（a,b）内,则有：

1）当f（x0）≠0时

2）当f（x0）等于0时

存在的充分且必要条件是：

若f（x0）等于 0, 那么 等于0. 【1】

证明：

1） 因为f（x0）≠0,不妨设f（x0）>0,则由可微必连续的性质,

存在U（x0,δ）,在U（x0,δ）内f（x）>0,从而在U（x0,δ）内,|f（x）|等于f（x）

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由导数概念的局部性可知：

即（1）式成立

2）当f（x0）等于0时

从而可知,当且仅当f`（x0）等于0时, 存在,

显然 即2）式成立.

所以命题得证.

这个命题不仅提供了判断导数存在的方法,而且还给出了导数的求解方法,我们估且称此法为直接法.下面看几个简单的例子：

例1： 已知g（x）等于|f（x）|等于|x|,求g`（x）.

解： 1） 当x≠0时, f（x）等于x等于0

由命题1有：

2） 当x等于0时, f（x）等于x等于0

∵f`（x）|x等于0等于1≠0

∴g（x）在x等于0处不可导.

所以

看下面几个有关特殊函数的定理：

定理1：

如果y等于ln|x|,则 . 【2】

证明： 由y等于ln|x|可知,x≠0.

令u等于|x|, ∴y等于lnu, 由例1可知,

, 所以命题得证.

定理1’：如果y等于ln|ax|,a∈R则

读者可自行证明该定理.

由此可见,此类函数的求导结果与绝对值函数的系数没有关系.

定理2：

如果 （pφ0）,则 .

所以命题得证.

例2： 已知g（x）等于|f（x）|等于|cos（x）|, 求g`（x）.

解： 1） 当f（x）≠0时,

即 , k≠0,±1,±2,等

因此我们有：

2） 当f（x）等于cosx等于0时, 即

∴g（x）在 , 时不可导.

所以

例3： 求极限 , （a≠0,b≠0） 【1】

解： ,当x∈p（0,δ）时,使x≠0,sinax≠0且sinbx≠0

当x∈p（0,δ） 时,x≠0, 均存在,

因此可利用罗比塔法则：

三、取绝对值的多元函数的求导问题

命题2：

若函数f（x1,x2,等,xn）在领域D内可