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2016年福建省初中数学竞赛试题参考答案

考试时间2016年3月15日9:00-11:00满分150分

一,选择题(共5小题,每小题7分,共35分每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填,多填或错填都得0分)

,则()

A.B.C.D.

【答案】A

【解答】由,知,,,.

∴

.

2.将编号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子内,每个盒子放2个球.则编号为1,2的小球放入同一个盒子内的概率为()

A.B.C.D.

【答案】B

【解答】将6个小球分成3堆,每堆2球,共有下列15种不同的分堆方法(堆与堆之间不考虑顺序):,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,,

,,,,,,,,.

其中,编号为1,2的小球分在同一堆的情形有3种.

∴编号为1,2的小球放在同一个盒子内的概率为.

3.已知圆是边长为的正三角形的内切圆,圆圆外切,且与的边,边相切,则圆的面积为()

A.B.C.D.

【答案】A

【解答】如图,设圆切边于,圆切边于,且圆的半径为,圆的半径为.

由是边长为的正三角形,知

,,

∵圆圆外切,且与的边,边相切,

∴,,三点共线,,.

∴,.

∴圆的面积为.

4.如图,为等腰三角形内一点,过分别作三条边,,的垂线,垂足分别为,,.已知,,且.则四边形的面积为()

A.10B.15C.D.

【答案】C

【解答】如图,连结,,.

易知.又

,.

∴,.

由,知点在的平分线上,,,三点共线.

∴,.

∴.

∴.

5.记为非负整数的各个数位上的数字之和,如,,.则()

A.B.C.D.

【答案】B

【解答】设.

则,.

又,

,

∴.

二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)

与抛物线交于,两点,则.

【答案】

【解答】由,得.等等等①

依题意,,为方程①的两根,,.

∴.

7.如图,已知正方形的边长为1,点,分别在边,上,且.则的周长为.

【答案】2

【解答】如图,在的延长线上取点,使得,连结.

则由为正方形,易得.

∴,.

∵,

∴

.

于是,在与中,,,.

∴,.的周长

.

8.若时,二次函数的最小值为,则.

【答案】5

【解答】∵,,

∴若,即时,则当时,取最小值.

由知,,不符合要求.

若,即时,则当时,取最小值.由知,,得,均不符合要求.

若,即时,则当时,取最小值.由知,,符合要求.

∴.

9.已知正整数,满足,则整数对的个数是.

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【答案】3

【解答】由,知,.

由,为正整数知,为整数.

∴(其中为正整数).同理,(为正整数).

于是,(,为正整数).

∴,,.

∴满足条件的整数对,或,或.

∴满足条件的整数对的个数为3.

10.表示不超过的最大整数,则满足条件的的取值范围为.

【答案】或

【解答】(1)当时,,,.

∴时,方程无解.

(2)当时,,,等式成立.

(3)当时,,,等式不成立.

(4)当时,.,或.

等式不成立.

(5)当时,.,或.

等式不成立.

(6)当时,,由知,.于是,.

综合得,满足条件的的取值范围为或.

三,解答题(共4题,每题20分,共80分)的图像过,,三点,其中,点,在轴上(在点左侧,在点右侧),且,.

(1)求二次函数的解析式,

(2)求外接圆的半径.

【解答】(1)作轴于,则.

由,知,,.

∴,.

∴点坐标为,点坐标为.等等5分

设所求二次函数的解析式为.

将点的坐标代入二次函数解析式,得.

∴,二次函数得解析式为,即.等等10分

(2)由(1)知,,.

∴.等等等等等等等15分

∴外接圆的半径.等等等等等等等20分

12.已知关于的方程有有理数根,求正整数的值.

【解答】∵关于的方程有有理数根,且为正整数,

∴为完全平方数等等等5分

设(为正整数),

则,.

∴.等等等10分

∵为正整数,为整数,且,

∴,或,或,或.

等等等等等15分

解得,,或,或,或.

∴正整数的值为503或99或35或8.等等等等20分

注:时,方程化为,即.

时,方程化为,即.

时,方程化为,即.

时,方程化为,即.

13.如图,是等腰直角三角形,,点在线段上(与,不重合),点在射线上,且.求证:.

【答案】如图,作点关于直线的对称点,连结,,,,则.

∵是等腰直角三角形,,且,

∴,

.

∴.等等等等等等5分

又,.

∴.等等等等10分

∴,.

又由,知

.