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运用方法论,就是在你进行日常教学的同时,用本文倡导的关 键 词,

解题表,来指导驾驭你的教学.这就使得方法论变得容易把握了.

人们为了理解周围的世界,就把自己的观点和思想组织成概念的体系.这种概念的体系就是用数学语言和方法构建成的模型.

数学,作为解决问题的一种技术,它的方法框架可以是如下那样的,是由关 键 词与解题表组合成的一个系统:

《通性通法与笛卡儿模式》数学方法论的关 键 词与解题表

第一章和谐扩展(每一单元是怎样开始与展开的)

本章数学方法的关 键 词是:矛盾生长点扩展和谐

数学,总是从一些简单的数形现象中,从自身存在的内在矛盾的揭示中,提

出问题,这就是数学的生长点.由此出发,数学自然地扩展了.而在这发展的整个

过程中,总是注意保持着内在的和谐,即一些主要的原理,原则始终仍然成立.

导语表一

一个学习阶段结束,就要想:数学,还可作怎样的扩展又如何保持体系的和谐

△学了这些内容后,数学上还有什么重大的内在矛盾或缺陷,需要加以解决么

△考虑到相关的内容,又联系实际的应用,你意识到数学还有什么方面的内容(生长点),是可以与值得去开发的么接着又如何扩展

△为了保持科学内容内在的和谐,你认为,扩展中最重要的是要使哪些原理,原则仍然成立

新的一个单元开始,就要想:过去的哪些内容,哪些思想方法,还将继续的发

挥作用,还要继续的在新的单元中运用

第二章笛卡儿模式(可化为方程函数的问题.重在前半部的"列")

本章数学方法的关 键 词是:形式化方程(不等式)函数途径选择

笛卡儿认为,极大多数数学解题,是把一个个条件变成方程,只是一个解方程或方程组的过程.这就是通称的笛卡儿模式.

解题表二

数学问题面前,首先要把条件一一用符号表示出来！形式化的主要内容,常是把等量关系变为方程

△引入适当的符号！问题有多少个条件一一分开条件的各部分！

△你能用方程(不等式)或函数(算式)的形式表出这个问题么

△本题涉及的未知量,关系比较的多,你将如何对众多的未知量,关系作出恰当的选择,以便能够顺利求解

数学学术论文撰写与发表
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△从不同的视角,用不同的符号,本题可得出什么样的不同的看法与表示

法么(途径的选择).就是说,设置其他的未知数,参数,问题能有什么不同的

表示法么

第三章数学的形式操作(可化为方程函数的问题.重在后半部的"解")

本章数学方法的关 键 词是,形式操作变形代换引参消元化归

一种观点认为:数学解题是连续化简的形式操作的过程.又有一种看法是,

数学解题是一个个反应块的不断连接的双向化归的过程.

解题表三

有了方程,不等式组,就要想:怎样把方程解出来！有了函数,就要研究函数的性质.

△从条件出发,可以推出或可以算出什么了吗你能从各方程,不等式推出

或解出什么吗

从已知的形式,你想到了可以作,需要作哪些变形

从本例条件的特殊性出发,你认为作哪些代换比较合适本例需要引入

参数么,引入什么参数为合适

需要消去一些元么消去哪几个较为恰当又怎样消元

怎样研究本例的函数,用变换法,还是用图象法

哪一二个是本题的关键性条件由此条件可得出,解出什么吗

第四章排除逼近与猜测(标准化试题)

本章数学方法的关 键 词是:标化题的特殊性排除逼近图象利用

敏锐的直觉

解选择题要利用选择支,并从中只选择一个.能排除逼近,自然是要利用的

,解填空题只要答案不必写过程.这两种题,能直觉猜测也是一条可取之道呵.

解题表四

某选择题,几个选择支.有什么特殊之处可供利用的么某一个填空题,又有什么特殊之处值得特别关注的么

△从本例的问题情境,有哪些特殊情形哪些极端情形

△从特殊情形出发,你得出了什么没有用极端情形作试验,可以猜测什么

排除什么

△问题的各个选择支,给了你哪些启发与提示

△可以从问题的什么特殊情形或极端情形出发,求取某填空题的答案么这

样做,对正确解答有什么影响没有

第五章映射反演(数形结合题)

本章数学方法的关 键 词是:有联系的领域映射与本质关系关注细节

中学数学问题概括起来,是数与形的问题.这两大表现形式,既是两两对应

的,又是可以互相转化的.所以,映射反演自然地就成为一条解题之大道了.

解题表五

映射的本质就是:外表非常不同的对象,本质关系却相同！

△这一个领域与哪些领域之间,存在什么本质上的关系又是怎样的联系

△可以或需要把问题映射到另一领域中去么映射后,问题的条件如何用

符号的形式(方程,不等式,函数)表示出来

△这样