【摘要】利率期限结构一直以来是金融领域的研究热点。随着利率市场化进程的不断加快，寻找到一种具有市场代表性的基准利率，从而为固定收益产品的定价提供基础。本文采用NSS模型和多项式样条模型对我国上交所国债的交易数据进行了拟合分析，通过对两种模型的分析比较，选择合适的方法对国债利率期限结构进行拟合。
【关键词】利率期限结构即期利率多项式样条法Nelson-Siegel-Svensson模型
一、引言
利率期限结构是在相同的风险水平下，不同期限的利率与到期期限之间的关系，或者说是零息债券的到期收益率曲线。利率期限结构是金融经济学中一个十分重要的基础性研究领域，它在固定收益证券定价以及利率风险管理方面扮演着重要角色。
随着利率市场化进程的推进，利率期限结构在金融市场中的作用日益凸显，要想利率期限结构发挥其在金融市场中的基准作用，选择良好的对象是关键。而国债作为一种固定收益证券，具有风险小、流动性好、收益相对稳定的特征，因此，将国债利率作为金融市场的基准利率是一种必然选择。在国内研究当中，对利率期限结构的构造方法不一，目前比较成熟的模型包括多项式样条法、指数样条法、Nelson-Siegel[1]模型（1987）和Svensson[2]（1994）模型。样条法是由McCulloch[3，4]（1971，1975）提出来的，McCulloch利用二次和三次回归样条法估计贴现函数，并表明三次样条法的估计效果好于二次样条函数法。其中，朱峰[5]（2003）采用Svensson模型和带平滑技术的B样条法构造上交所国债的利率期限结构；朱世武和陈建恒[6]（2003）采用Nelson-Siegel模型、Svensson扩展模型和多项式样条模型对上交所国债的利率期限进行拟合分析发现，Svensson扩展模型稳定性较好，更适合于我国的市场状况。傅曼丽[7]（2006）等通过几种模型的比较发现，Svensson模型与Nelson-Siegel模型比较，灵活性更好，更能反映利率曲线的形状，而多项式样条法在价格拟合度方面占有明显优势。
本文通过对多项式样条和Svensson模型的拟合效果分析比较，归纳概括这两种模型在拟合利率期限结构时的优势。
二、模型介绍
（一）Svensson模型
Svensson模型在Nelson-Siegel模型的基础上，引入新的参数，其瞬时远期利率的函数形式如下：
该模型的优点在于各个参数具有特定的经济含义，β0代表长期利率，它表示瞬时远期利率曲线f(0,θ)的渐近线，随着到期期限θ的增大，f(0,θ)曲线应该趋向于β0。β1则代表短期利率部分，它是瞬时远期利率曲线向渐近线的趋近速度的衡量因素。若β1为正数，则瞬时远期利率曲线随着期限的增加而上升，反之，若β1为负数，则瞬时远期利率曲线随期限的增加而下降。β2和β3代表中期利率部分，它决定了瞬时远期利率的性质和曲度。参数τ1、τ2控制指数的衰减率，它决定了β1、β2和β3的衰减速率。即当β0固定时，通过β1、β2和β3的不同组合可以刻画不同形状的利率曲线，包括单调型、驼峰型和S型曲线。
然后，根据即期利率是远期利率的一个平均，可知即期利率公式如下：
得到即期利率后，贴现因子D（0,t）=exp(-t·R(0,t))
Svensson模型与Nelson-Siegel模型相比更加灵活，可以刻画利率曲线的多峰状态。
（二）多项式样条模型
样条类构造方法一般采用样条函数拟合贴现因子，通过样本债券的理论价格与市场价格差别最小化来估计参数，进而得到贴现函数的估计值，并求得即期利率和远期利率。多项式样条法采用多项式样条函数来逼近贴现函数。McCulloch将多项式样条法应用于利率期限结构之后，Shea随后讨论了多项式样条函数的分界点问题。然而，多项式样条方法在拟合时的关键在于多项式的阶数和样条数量的选取，目前没有选取标准可供选择，而唯一标准就是理论价格与实际价格的误差最小。根据我国上交所国债市场的现状和李明、郭伟[8]（2006）等文献，一般将多项式的阶数和样条数量都定为3，这是因为当多项式样条函数的阶数是2时，它的二阶导数是离散的，但当其大于3时，验证导数的连续性又有一定困难，这样既保证了足够的拟合优度，也减少了需要估计的参数。本文选取2013年4月23日上交所的国债交易数据，根据当天交易债券的现实状况，为确保每一时间段的交易种数相当，此时将贴现函数表示为：
三、实证分析
（一）数据选取
本文选取2013年4月23日上交所固定利利率的国债现券交易数据（表1），共14只，其中剩余期限在1年以内的6只，1～7年共3只，7～15年的共5只。
表12013年4月23日上交所国债现券交易数据
（二）参数估计
前面在模型介绍时已经给出了NelsonSiegelSvensson扩展模型的贴现函数形式。由此，可以在通过贴现函数给出样本债券的理论定价公式：
P*t表示债券i的理论价格，CFit表示债券i所包含的在未来时间t发生的现金流，D(t,t+θ)表示与时间t对应的贴现函数值，Φ表示贴现函数的参数向量(或矩阵)。
参数估计的标准是使样本债券的定价误差(理论价格与实际价格的差别)最小。但是如果以普通的最小二乘估计方法，无疑给每个债券赋予了相等的权重。在实际当中这是有问题的。因为，采用的债券样本是一组期限不等的同质债券，而对债券来讲，其价格波动除了受到利率变动的影响外，同时还会受到久期和凸性的影响。显然，债券长期品种的波动要大于短期债券。因此，为了解决这一问题，在设定目标函数时应该将久期作为权重系数，给短期债券赋予较高的权重，长期债券赋予较小的权重。于是目标函数变为：
（三）拟合结果
对于Svensson模型，需要用线性最优化算法来估计其参数，估计参数结果如下：
β0＝0.0522234508；β1＝-0.03796324；β2＝0.0047669649；β3＝0.0494497335；τ1＝25；τ2＝4.36308080256
根据这些参数，可以得到连续复利即期利率的时间函数图像如图1：
图1NSS模型的即期利率期限结构
对于多项式样条法，采用回归分析法估计其参数。参数的估计结果如下：
b1=-0.014070299；c1=-0.009314312；d1=0.0023187759；d2=0.0002107801；d3＝-0.00017213
在得到折现银子的时间函数之后，将贴现因子转换成连续复利即期利率。
根据连续复利，则即期利率曲线如图2：
图2多项式样条函数的即期利率期限结构
而这两种模型拟合出来的即期利率如表2所示：
表2两种模型的即期利率比较
从图形来看，两者的拟合效果类似，这Svensson模型和多项式样条模型都对中期债券的拟合效果较好，对于短期债券特别是1年以内的债券利率两者都存在低估现象，这可能是由于一年以下的这几只债券的剩余期限比较接近，而其在定价上却存在较大差距，进而导致在这段时间上拟合效果与实际水平存在差距。但对于剩余期限在15年以上的债券而言，随着到期期限的增加，多项式样条法在远端的利率呈现幂级数增长，这显然与实际不符，而相对而言，Svensson模型在远端的利率曲线相对稳定。因此，相对而言，Svensson模型拟合出的结果更符合实际情况，也更合理一些。
四、结论
本文比较了多项式样条法和Svensson模型在利率期限结构拟合效果上的分析，这两者在对1～7年期债券的价格拟合效果较好，但多项式样条更接近历史数据水平。但对利率期限结构的研究不应该只停留在对历史数据的拟合效果上，这样是没有意义的，而更应该放在对未来利率趋势的预测上。因此，Svensson模型自身比较稳定，从这方面讲，更适合于国债市场的定价趋势。
参考文献
[1]C.R.Nelson&A.F.Siegel.ParsimoniousModelingofYieldCurves[J].JournalofFinance，1987，60(4)：473-489.
[2]Svensson，L.E.O.EstimatingandInterpretingForwardInterestRates：Sweden1992-1994，NBERWorkingPaperSeries，4871.
[3]McCullochJH.(1971).Measuringthetermstructureofinterestrate.JournalofFinance，44(1)：19-31.
[4]McCullochJH.(1975).Thetax-adjustedyieldcurve.JournalofFinance，(30)：811-830.
[5]朱峰.国债即期收益率曲线的拟合估计[J].证券市场导报，2003(4)；31-36.
[6]朱世武，陈建恒.交易所国债利率期限结构实证研究[J].金融研究，2003，24(10)：63-73.
[7]傅曼丽，屠梅曾，董荣杰.债券利率期限结构的构造方法与实证检验[J].系统工程理论方法应用，2006(5)：437-444.
[8]郭伟，李明.基于多项式样条法的国债利率期限结构分析[J].中南财经政法大学研究生学报，2006(4)：20-24.
基金项目：西咸区域金融创新模式与城市发展战略研究。编号：SMXY201610。
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作者简介：王飞婷（1987-），女，汉族，陕西周至人，硕士研究生，任职于陕西国际商贸学院，研究方向：金融工程与金融管理研究。
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