多资产大宗商品期权定价研究

多资产大宗商品期权定价研究

摘要：基于大宗商品收益率?c便利收益服从均值回复过程的假设，建立带协整效应的多资产大宗商品期权定价模型，求解多资产大宗商品期权价格的解析解，将大宗商品期权定价推广到更一般情况。结果表明：标的资产收益率增加，期权价格上升，替代品期权价格下降；标的资产的便利收益增加，期权价格下降，相应替代品的期权价格上升。
关键词：大宗商品；期权定价；随机收益率；随机便利收益；协整
中图分类号：F830.9文献标识码：A文章编号：10037217（2018）04005908
一、引言
2017年3月31日，豆粕期权在大连商品交易所上市，4月19日，白糖期权在郑州商品交易所正式挂牌交易，从此，中国大宗商品开启期权时代。商品期权的推出有助于深化期货市场功能，丰富风险管理工具[1]，提升企业期货市场参与程度与期货市场运行质量，使金融能够更好地服务于实体经济。
标的资产收益率是影响大宗商品衍生品价格的主要因素。收益率越高，投资者持有该资产所获得的利润越高，相应衍生产品越受投资者青睐。收益率是衡量资产价值的重要指标，对大宗商品期权定价具有重要影响。以往有关大宗商品衍生品定价的研究大多以无风险利率代替标的资产收益率，甚至假设其为常数[2，3]，不能反映大宗商品收益的不确定性，因此，Schwartz[4]认为用均值回复过程刻画标的资产收益率更为准确。众多学者均认为大宗商品收益率具有随机性，例如Miltersen和Schwartz[5]，Casassus和Dufresne[6]，Cheng[7]，Lai和Mellios[8]等。因此，大宗商品期权定价应考虑不同资产收益率对标的资产期权价格的影响。
便利收益是影响大宗商品衍生品价格的重要因素。与其他期权不同，商品期权属于实物期权，投资者持有实物资产的价值与便利收益有关。Brennan[9]，Fama和French[10，11]研究发现，大宗商品持有者在持有实物资产时会产生便利收益（ConvenienceYield）。便利收益是大宗商品的固有属性，是投资者持有实物资产时获得的收益[12]，本质上，便利收益依赖于资产持有者对大宗商品的储存属性[13]，实物资产持有者对市场供需状况带来的冲击反应较迅速，可以选择最有利的策略应对该冲击[14]。以往有关大宗商品期权定价的研究忽略了便利收益对期权价格的影响，而便利收益是大宗商品衍生品价格的重要影响因素之一。Black[15]在BlackSchole[16]期权定价公式基础上首次研究了大宗商品期权定价问题。AsayMR[17]认为已有期权定价公式的标的资产更适于商品期货合约，因为商品期货较大宗商品流动性更好，其价格变化更符合随机过程假设，而以实物为标的资产，则需考虑便利收益等因素。Heinkel等[18]以期权收益视角对便利收益进行了深入分析。Gibson和Schwartz[2]认为便利收益应服从均值回复过程，首先从理论上建立了二因子模型来描述原油价格变化过程，此后，众多学者研究大宗商品衍生品定价时均采用均值回复过程刻画便利收益，例如Schwartz[4]，Miltersen和Schwartz[5]，Casassus和Dufresne[6]，Schwartz和Smith[19]等。Hinz和Fehr[20]认为大宗商品期权定价需考虑储存成本，便利收益与储存成本密切相关（例如储存成本为负时即可理解为便利收益），Liu和Tang[21]研究发现，便利收益具有异方差性，且呈动态变化。因此，便利收益是研究大宗商品期权定价必不可少的影响因素之一。
相关资产间的协整效应也是影响大宗商品衍生品价格的因素之一。大宗商品属于功能类商品，某些商品间具有替代性（例如原油与取暖油），因此，其市场价格间会产生相互影响，这种影响被称为资产间的协整效应。Duan和Pliska[22]在风险中性条件下研究了带协整效应的期权定价问题。Nakajima和Ohashi[3]认为当便利收益存在时，风险中性测度下商品价格漂移项会偏离无风险利率，因此，Duan和Pliska的期权定价公式将不再成立。Nakajima和Ohashi[3，23]在随机便利收益的假设下拓展了Gibson和Schwartz的二因子模型，研究了带协整效应的大宗商品期货期权定价问题，并通过实证研究证明了大宗商品间协整效应的存在性。大宗商品作为金融资产，与股票等资产不同，其价格会受到生产和储存条件的影响，同时，还会受到同类商品价格的影响，因此，研究大宗商品期权定价问题，必须考虑不同资产间的协整效应。
安宁和刘志新[24]根据便利收益理论发现中国商品期货收益具备看涨期权的特性，且呈现周期性循环变化。潘坚和刘福来[25]，周洪海等[26]研究了一类带交易费的商品期权定价问题。吕永琦[27]基于商品的日便利收益研究了期权定价问题，研究发现，交换期权的性质可以解释便利收益的变化。王苏生等[28]将便利收益作为一种看涨期权，进而研究了碳排放及期权定价问题。
虽然已有研究从不同角度研究了大宗商品期权定价问题，但没有同时考虑标的资产收益率与便利收益的随机性，以及不同资产间的协整效应。因此，本文在随机收益率和随机便利收益的假设下研究了带协整效应的大宗商品期权定价问题，可以同时刻画大宗商品收益的不确定性以及便利收益的随机性，并能够反映同类大宗商品间的价格影响关系。本文贡献在于：在标的资产收益率和便利收益服从均值回复过程的假设下，建立了带协整效应的多资产大宗商品期权定价模型，并得到了该模型下欧式看涨期权的定价公式，拓展了大宗商品期权定价理论；分析了收益率、便利收益对标的资产及其替代品期权价格的影响，解释了大宗商品间的价格影响机理，对投资者及商品期权市场具有一定的指导意义。
二、多资产大宗商品期权定价
（一）模型建立
假设市场上有n个存在协整效应的大宗商品，t（t≥0）时刻第i（i=1，…n）个商品的价格为Si（t），其便利收益为δi（t），收益率为ri（t），三者均为概率空间（Ω，F，Q）上的随机变量，令Xi（t）=lnSi（t），标的资产对数价格服从如下随机过程，dXi（t）=ri（t）-σ2Si2-δi（t）+biz（t）dt+σSidWSi（t）（1）
其中，标的资产收益率和便利收益服从均值回复过程，
dri（t）=kri（mi-ri（t））dt+σridWri（t）（2）
dδi（t）=kδi（αi-δi（t））dt+σδidWδi（t）（3）
z（t）为标的资产间的协整效应，
z（t）=μz+a0t+∑ni=1aiXi（t）（4）
i，j=1…n，μz，a0，ai，bi，kri，kδi，αi，mi，σSi，σri，σδi为常数，WS，Wr，Wδ为概率空间（Ω，F，Q）上具有相关性的标准布朗运动，其协方差矩阵为
1ρSrρSδ
ρSr1ρrδ
ρSδρrδ1t（5）
为保证布朗运动协方差矩阵的非负定性，令相关系数满足如下条件，
1+2ρSrρSδρrδ-ρ2Sr-ρ2Sδ-ρ2rδ≥0（6）
当标的资产收益率为常数，多个资产间无协整效应时，上述模型退化为GibsonSchwartz[2]的GS模型，当资产间不存在协整效应，且标的资产收益率服从均值回复过程时，本模型退化为Schwartz[4]的三因子模型。
（二）欧式看涨期权定价
假设t时刻第i个标的资产价格为Si（t），T时刻欧式看涨期权的执行价格为K，由式（2）可知，收益率服从均值回复过程，则远期测度QT下，该看涨期权的价格Ci（t，T）为
Ci（t，T）=EQTe-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+（7）
定义远期测度QT下拉东-尼柯迪姆导数为
dQTdQ=e-∫Ttri（s）dsEe-∫Ttri（s）dsFt（8）
其中，E?为测度Q下的数学期望，令Pi（t，T）=Ee-∫Ttri（s）dst，则远期测度QT下欧式看涨期权价格可写为
Ci（t，T）=Pi（t，T）EQT（Si（T）-K）+（9）
?θ我?u∈t，T，由式（2）直接计算可得，
ri（u）=mi+（ri（t）-mi）e-kri（u-t）+
e-kriu∫utσriekrisdWri（s）（10）
令M（u，T，k）=1-e-k（T-u），那么
-∫Ttri（s）ds=-mi（T-t）-（ri（t）-mi）kriM（t，
T，kri）-σrikri∫TtM（s，T，kri）dWri（s）（11）
直接计算可得，
Pi（t，T）=exp
-mi（T-t）-（ri（t）-mi）kriM（t，T，kri）+
12∫Ttσ2rik2riM2（s，T，kri）ds（12）
dQTdQ=exp-∫TtσrikriM（s，T，kri）dWri（s）-
12∫Ttσ2rik2riM2（s，T，kri）ds（13）
则远期测度QT下的布朗运动WTri（u）为
WTri（u）=Wri（u）+∫utσrikriM（s，T，kri）ds（14）
定义布朗运动ri（t），Si（t），δi（t），令
Wri（t）=ri（t）（15）
WSi（t）=ρSrri（t）+1-ρ2SrSi（t）（16）
Wδi（t）=ρSrri（t）+ρSδ-ρSrρrδ1-ρ2Srri（t）+
（1-ρ2Sr）（1-ρ2rδ）-（ρSδ-ρSrρrδ）21-ρ2Srδi（t）
（17）
根据Fan等[29]可知，ri（t），Si（t），δi（t）为概率空间（Ω，F，Q）上相互独立的标准布朗运动。
令：
i（t，T）=∫Tt（ri（s）-σ2Si2-δi（s）+
biz（s））ds+∫TtσSidWSi（s）（18）
则Si（T）=Si（t）expi（t，T），即式（18）与式（1）等价。
引理1令ρ1=ρSδ-ρSrρrδ1-ρ2Sr，ρ2=（1-ρ2Sr）（1-ρ2rδ）-（ρSδ-ρSrρrδ）21-ρ2Sr，β=∑ni=1biai，
γ=-a0+12∑ni=1aiσ2Siβ，
M（u，T，k）=1-e-k（T-u），
M（u，T，k，c）=e-（cT+k（T-u））-e-cu，
（x，y）=exT-extx-exT-e-yT+（x+y）tx+y，
（x）=T-t-M（t，T，x）x，
fri=mi+（ri（t）-mi）e-kri（T-t）kri，
fδi=αi+（δi（t）-αi）e-kδi（T-t）kδi，
f0=（biγ-σ2Si2+mi-αi-∑nj=1
biaj（mj-αj）β）（T-t）
+（bi（γ-z（t））β-
∑nj=1biajkrjmjβ2（krj+β）+∑nj=1biajkδjαjβ2（kδj+β））
M（t，T，-β），
f1（x）=biajβx-biajeβ（T-t）β（x+β），f2（x）=biajβx-biajβ（x+β），f3（x，y）=biajσxβkx-biajσyβky，
g1i=-σrie-kriTkriekris+σrikri+ρrδσδie-kδiTkδiekδis+ρSrσSi-ρrδσδikδi，
g2i=ρ2σδie-kδiTkδiekδis-ρ2σδikδi，g3i=ρ1σδie-kδiTkδiekδis-ρ1σδikδi+1-ρ2SrσSi
g1ij=σrje-krjTf2（krj）ekrjs-
ρrδσδje-kδjTf2（kδj）ekδjs-f3（rj，δj）+biajσrjeβTβ（krj+β）e-βs-ρrδbiajσδjeβTβ（kδj+β）e-βs+ρSrσSjbiaj（eβ（T-s）-1）β
g2ij=ρ2σδje-kδjTf2（kδj）ekδjs+ρ2biajσδjeβTβ（kδj+β）e-βs，
g3ij=ρ1σδje-kδjTf2（kδj）ekδjs+ρ1biajσδjeβTβ（kδj+β）e-βS+biajσSj1-ρ2SrM（s，T，-β）β，
假设kri，kδi，β不为零，且β≠-kri，β≠-kδi，那么，远期测度QT下i（t，T）的期望μi（t，T）和方差σ2i（t，T）分别为：
μi（t，T）=f0-fri+fδi+ri（t）kri-δi（t）kδi-
σ2rie-kγiTk2ri（kri，kri）+ρrδσriσδie-kδiTkrikδi（kδi，kri）
+σ2rik2ri（kri）-ρrδσriσδikrikδi（kri）+
ρSrσriσSikri（kri）-∑nj=1f1（krj）rj（t）+
∑nj=1f1（kδj）δj（t）+∑nj=1f2（krj）frjkrj-
∑nj=1f2（kδj）fδjkδj-∑nj=1（σrjkrjf3（rj，δj）+ρSrσrjσSjbiajβkrj）（krj）+
∑nj=1σ2rje-krjTkrjf2（krj）（krj，krj）-
∑nj=1ρrδσrjσδje-kδjTkrjf2（kδj）（kδj，krj）+
∑nj=1（biajσ2rjeβTkrjβ（krj+β）-ρrδbiajσδjσrjeβTkrjβ（kδj+β）+
ρSrσrjσSjeβTbiajβkrj）（-β，krj）
σ2i（t，T）=∫Ttg21ids+∫Ttg22ids+∫Ttg23ids+
∑nj=1∑nk=1∫Ttg1ijg1ikds+
∑nj=1∑nk=1∫Ttg2ijg2ikds+
∑nj=1∑nk=1∫Ttg3ijg3ikds+2∫Ttρrδg1ig2ids+
2∫TtρSrg1ig3ids+∑nj=12∫Ttg1ig1ijds-
∑nj=12∫Ttρrδg1ig2ijds-∑nj=12∫TtρSrg1ig3ijds+
2∫TtρSδg2ig3ids+∑nj=12∫Ttρrδg2ig1ijds-
∑nj=12∫Ttg2ig2ijds-∑nj=12∫TtρSδg2ig3ijds+
∑nj=12∫TtρSrg3ig1ijds-∑nj=12∫TtρSδg3ig2ijds-
∑nj=12∫Ttg3ig3ijds-∑nj=1∑nk=1∫Ttρrδg1ijg2ikds-
∑nj=1∑nk=1∫TtρSrg1ijg3ikds+∑nj=1∑nk=1∫TtρSδg2ijg3ikds
?C明为了计算远期测度QT下i（t，T）的期望μi（t，T）和方差σ2i（t，T），首先需计算测度Q下的未知项∫Ttri（s）ds，∫Ttδi（s）ds和∫Ttz（s）ds。
因为β=∑ni=1biai，γ=-a0+12∑ni=1aiσ2Siβ，根据式（4），利用伊藤引理可得：
dz（t）=-β（γ-z（t））dt+∑ni=1airi（t）dt-
∑ni=1aiδi（t）dt+∑ni=1aiσSidWSi（t），
所以，
∫Ttz（s）ds=z（T）-z（t）β+γ（T-t）-∑ni=1aiβ∫Ttri（s）ds+∑ni=1aiβ∫Ttδi（s）ds-∑ni=1aiβσSi∫TtdWSi（s）（19）
利用分部积分公式直接计算可得：
z（T）=eβ（T-t）z（t）+γM（t，T，-β）+∑ni=1∫Tteβ（T-s）ai（ri（s）-δi（s））ds+∑ni=1∫Tteβ（T-s）aiσSidWSi（s）（20）
类似的，根据式（2）、（3），我们有：
∫Ttri（s）ds=mi（T-t）-ri（T）-ri（t）kri+
σrikri∫TtdWri（s）（21）
∫Ttδi（s）ds=αi（T-t）-δi（T）-δi（t）kδi+
σδikδi∫TtdWδi（s）（22）
其中，
ri（T）=mi+（ri（t）-mi）e-kri（T-t）+
e-kriT∫TtσriekrisdWri（s）（23）
δi（T）=αi+（δi（t）-αi）e-kδi（T-t）+
e-kδiT∫TtσδiekδisdWδi（s）（24）
将式（20）-（24）带入式（19）得：
∫Ttz（s）ds=（γ-z（t））M（t，T，-β）β+γ（T-t）+∑ni=1aiβeβT∫Tte-βs（ri（s）-δi（s））ds-∑ni=1aiβ∫Tt（ri（s）-δi（s））ds+∑ni=1aiβσSieβT∫Tte-βsdWSi（s）-∑ni=1aiβσSi∫TtdWSi（s）（25）
由式（15）-（17）可知，远期测度QT下，dWTri（u）=σrikriM（u，T，kri）du+dri（u）（2.26）
dWTSi（u）=ρSrσrikriM（u，T，kri）du+ρSrdri（u）+1-ρ2SrdSi（u）（27）
dWTδi（u）=ρrδσrikriM（u，T，kri）du+ρrδdri（u）+ρ1dSi（u）+ρ2dδi（u）（28）
将式（19）-（28）带入i（t，T），远期测度QT下，直接计算可得：
Ti（t，T）=f0-fri+fδi+ri（t）kri-δi（t）kδi-
σ2rie-kriTk2ri（kri，kri）+ρrδσriσδie-kδiTkrikδi（kδi，kri）+
σ2rik2ri（kri）-ρrδσriσδikrikδi（kri）+ρSrσriσSikri（kri）-
∑nj=1f1（krj）rj（t）+∑nj=1f1（kδj）δj（t）+
∑nj=1f2（krj）frjkrj-∑nj=1f2（kδj）fδjkδj-
∑nj=1σrjkrjf3（rj，δj）（krj）-
∑nj=1ρSrσrjσSjbiajβkrj（krj）+
∑nj=1σ2rje-krjTkrjf2（krj）（krj，krj）-
∑nj=1ρrδσrjσδje-kδjTkrjf2（kδj）（kδj，krj）+
∑nj=1（biajσ2rjeβTkrjβ（krj+β）-ρrδbiajσδjσrjeβTkrjβ（kδj+β）+
ρSrσrjσSjeβTbiajβkrj）（-β，krj）+∫Ttg1idri（s）+
∫Ttg2idδi（s）+∫Ttg3idSi（s）+
∑nj=1∫Ttg1ijdrj（s）-∑nj=1∫Ttg2ijdδj（s）-
∑nj=1∫Ttg3ijdSj（s）（29）
直接对式（29）中Ti（t，T）求期望和方差，即得所求结果。
证毕。
根据式（18）可知，标的资产对数价格Xi的期望μXi（t，T）即μi（t，T），方差σ2Xi（t，T）即σ2i（t，T），因此我们有如下定理求解多资产大宗商品期权定价模型，进而得到欧式看涨期权定价公式。
定理1假设t时刻第i个标的资产价格为Si（t），Xi（t）=lnSi（t），T时刻欧式看涨期权的执行价格为K，n（xi|μXi（t，T），σ2Xi（t，T））为标的资产对数价格Xi的概率密度函数，则t时刻到期日为T的欧式看涨期权价格为
Ci（t，T）=Pi（t，T）eμXi+σ2Xi2（1-Φ（di1（t，T）））-Pi（t，T）K（1-Φ（di2（t，T））），
其中，di1（t，T）=lnK-（μXi+σ2Xi）σXi，di2（t，T）=lnK-μXiσXi。
证明由假设条件可知，T时刻欧式看涨期权的收益为Si（T）-K，风险中性条件下，期望收益为
EQT（Si（T）-K）+：=EQT[max（Si（T）-K，0）]，
则该看涨期权现值为
Ee-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+，
因为Xi（t）=lnSi（t），所以该期权对数价格的可行域为D=xixi≥K，
记μXi（t，T）为μXi，σ2Χi（t，T）为σ2Xi，则期权价格可写为
Ci（t，T）=Ee-∫Ttri（s）ds（Si（T）-K）+=
Pi（t，T）∫D（exi-K）n（xiμXi，σ2Xi）dxi=
Pi（t，T）（∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi-
K∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi）（30）
而
∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi=
∫Dexi12πσXie-（xi-μXi）22σ2Xidxi=
eμXi+σ2Χi2∫D12πσXie-（xi-（μXi+σ2Xi））22σ2Xidxi（31）
令y=xi-（μXi+σ2Xi）σXi?M行变量代换得：
∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi=
eμXi+σ2Xi212πσXi∫+∞di1e-y22dy（32）
其中，di1（t，T）=lnK-（μXi+σ2Xi）σXi。
同理，
∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi=12πσXi∫+∞di2e-y22dy（33）
其中，di2（t，T）=lnK-μXiσXi。
整理得：
Ci（t，T）=Pi（t，T）（∫Dexin（xiμXi，σ2Xi）dxi-K∫Dn（xiμXi，σ2Xi）dxi）=Pi（t，T）eμXi+σ2Xi2（1-Φ（di1（t，T）））-Pi（t，T）K（1-Φ（di2（t，T）））（34）
证毕。
由定理1中的期权价格公式可知，资产i的期权价格不仅与合约期限及行权价格K有关，还与该资产的收益与风险有关，而资产i的期望收益μXi（t，T）与风险σ2Xi（t，T）会受到具有协整效应的相关产品影响，根据μXi（t，T）和σ2Xi（t，T）的计算公式可知，多资产大宗商品期权定价模型中各参数会对μXi（t，T）与σ2Xi（t，T）产生影响。因此，大宗商品期权价格不仅受到模型参数及初始条件的影响，还会受到行权价格K的影响，带协整效应的相关产品也会对大宗商品期权定价产生影响，除此之外，各资产的随机收益率与便利收益对大宗商品期权价格也产生重要影响[30]。三、数值分析
通过前文理论分析可知，本文所提模型为随机收益与随机便利收益条件下，带协整效应的多资产大宗商品期权定价模型。模型中包含μz，a0，ai，bi，kri，kδi，αi，mi，σSi，σri，σδi等参数，这些参数反映了大宗商品的市场环境，当任意给定一组参数后，t时刻任一资产的期权价格可根据定理1计算得到。
本文分别计算固定收益与协整效应条件下、随机收益与无协整效应条件下、随机收益与协整效应共存条件下的大宗商品期权价格，对比分析随机收益与协整效应对多资产大宗商品期权定价的必要性。
假设市场上存在两种具有协整效应的大宗商品，根据Nakajima和Ohashi（2012）参数估计结果，本文取μz=1.144262，a0=0.072，a1=-2.6，a2=-2.1，b1=0.58，b2=0.48，kr1=1.5，kr2=1.2，kδ1=1.140883，kδ2=1.085038，σS1=0.381896，σS2=0.406307，σr1=0.2，σr1=0.15，σδ1=0.287109，σδ2=0.699693，ρδ1δ2=0.165843，ρδ1S1=0.767305，ρδ1S2=0.628424，ρδ2S1=0.000072，ρδ2S2=0.620514，ρS1S2=0.748660。由于大宗商品期权合约有固定到期日，所以本文令到期日T=1，而到期前期权价格会随时间变化，为了满足实际需要，本文设定0≤t≤T，不失一般性，我们可以取t=0.4。为计算方便，令X1（t）=1，X2（t）=1。基于期权的权利属性，行权价格应小于标的资产价格，所以本文令行权价格K=0.6。
本文模型在GSC模型的基础上加入随机变量ri（t），使得影响期权价格的随机变量变为随机收益率与随机便利收益。由于m1，m2为资产收益率的长期均值，可以显示收益率的大小，所以，收益率对期权价格的影响可以通过m1，m2与期权价格C1，C2的关系说明。由于α1，α2代表标的资产便利收益的大小，所以，我们可以通过研究α1，α2与期权价格C1，C2的关系来说明便利收益与期权价格的关系。
图1中，图（a）至图（d）为标的资产收益率与便利收益对期权价格的影响关系图，由图（a）和（c）可知，期权价格C1随着m1增大而增大，随着α1的增大而减小，随着m2的增大而减小，随着α2的增大而增大；由图（b）和（d）可知，期权价格C2随着m1增大而减小，随着α1的增大而增大，随着m2的增大而增大，随着α2的增大而减小。这说明标的资产收益率增大，期权价格上升，替代品的期权价格下降；便利收益增大，期权价格下降，替代品的期权价格上升；即标的资产收益率与期权价格正相关，与替代品的期权价格负相关；标的资产便利收益与期权价格负相关，与替代品的期权价格正相关。这是因为存在竞争性的大宗商品功能相似，可以起到替代作用，标的资产的收益率增加，表明该资产市场行情较好，价格上升，所以期权价格也随之上升，由于市场需求短期内不会产生巨大变化，所以替代品交易量会降低，导致流动性差，价格下降，所以替代品期权价格也随之下降；标的资产的便利收益增加，表明投资者更倾向持有该资产，流动性变差，交易量减少，价格下降，期?嗉鄹褚菜嬷?下降，为满足市场需求，消费者转而购买功能相似的替代品，从而使替代品流动性增加，交易量增加，价格上升，替代品的期权价格也随之上升。
通过以上分析可知，大宗商品期权价格不仅与便利收益有关，还与标的资产随机收益有关，同时会受到替代品的影响，因此，大宗商品期权定价模型应同时考虑随机收益率、便利收益与协整效应三个因素。
本文所提多资产大宗商品期权模型不仅包含了便利收益对标的资产期权价格的影响，还研究了标的资产随机收益率和协整效应共存条件下的多资产大宗商品期权定价问题，拓展了大宗商品期权定价理论。
四、结论
大宗商品在我国经济发展中占有核心地位，相应衍生产品备受投资者青睐。当前有关大宗商品期权定价研究主要集中于便利收益对期权价格的影响，现有文献缺乏收益不确定性下带协整效应的多资产大宗商品期权定价研究。考虑到市场经济中大宗商品收益的不确定性与便利收益的不可观测性，本文在随机收益率与随机便利收益服从均值回复过程的假设下，研究了大宗商品的随机收益率、随机便利收益与相关产品的协整效应对大宗商品期权定价的影响，建立了多资产大宗商品期权定价模型，解决了多资产大宗商品期权定价问题，得到了随机收益与随机便利收益条件下带协整效应的大宗商品期权定价问题的解析解。本文放宽了大宗商品期权定价模型有关收益率的限制，假设更具一般化。通过数值分析发现，当大宗商品的收益增加时，标的资产价值升高，期权价格上升，由于同类产品之间存在替代性与竞争性，所以替代品的期权价格下降；当大宗商品的便利收益增加时，标的资产流动性变差，导致期权价格下降，投资者转而购买同类替代品，使得替代品的期权价格上升。本文研究了收益不确定性与协整关系共存条件下的大宗商品期权定价问题，拓展了大宗商品期权定价理论。
参考文献：
[1]CatlettLB，BoehljeM.Commodityoptions，hedging，andriskpremiums[J].NorthCentralJournalofAgriculturalEconomics，1982：95-101.
[2]GibsonR，SchwartzES.Stochasticconvenienceyieldandthepricingofoilcontingentclaims[J].TheJournalofFinance，1990，45（3）：959-976.
[3]NakajimaK，OhashiK.Acointegratedcommoditypricingmodel[J].JournalofFuturesmarkets，2012，32（11）：995-1033.[4]SchwartzES.Thestochasticbehaviorofcommodityprices：implicationsforvaluationandhedging[J].TheJournalofFinance，1997，52（3）：923-973.
[5]MiltersenKR，SchwartzES.Pricingofoptionsoncommodityfutureswithstochastictermstructuresofconvenienceyieldsandinterestrates[J].JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis，1998，33（1）：33-59.
[6]CasassusJ，CollinDufresneP.Stochasticconvenienceyieldimpliedfromcommodityfuturesandinterestrates[J].TheJournalofFinance，2005，60（5）：2283-2331.
[7]ChengB，SchloglE.Hedgingfuturesoptionswithstochasticinterestrates[J].WorkingPaper，2016（66）：402-414.
[8]LaiAN，MelliosC.Valuationofcommodityderivativeswithanunobservableconvenienceyield[J].ComputersandOperationsResearch，2016（66）：402-414.
[9]BrennanMJ.Thecostofconvenienceandthepricingofcommoditycontingentclaims[M].CenterfortheStudyofFuturesMarkets，ColumbiaBusinessSchool，ColumbiaUniversity，1986.
[10]FamaEF，FrenchKR.Commodityfuturesprices：Someevidenceonforecastpower，premiums，andthetheoryofstorage[J].JournalofBusiness，1987：55-73.
[11]FamaEF，FrenchKR.Businesscyclesandthebehaviorofmetalsprices[J].TheJournalofFinance，1988，43（5）：1075-1093.
[12]BrennanMJ.Thepriceofconvenienceandthevaluationofcommoditycontingentclaims[J].StochasticModelsandOptionValues，1991（200）：33-71.
[13]HilliardJE，ReisJ.Valuationofcommodityfuturesandoptionsunderstochasticconvenienceyields，interestrates，andjumpdiffusionsinthespot[J].JournalofFinancialandQuantitativeAnalysis，1998，33（1）：61-86.
[14]NielsenMJ，SchwartzES.Theoryofstorageandthepricingofcommodityclaims[J].ReviewofDerivativesResearch，2004，7（1）：5-24.
[15]BlackF.Thepricingofcommoditycontracts[J].Journaloffinancialeconomics，1976，3（1-2）：167-179.
[16]BlackF，ScholesM.Thepricingofoptionsandcorporateliabilities[J].Journalofpoliticaleconomy，1973，81（3）：637-654.
[17]AsayMR.Anoteonthedesignofcommodityoptioncontracts[J].JournalofFuturesMarkets，1982，2（1）：1-7.
[18]HeinkelR，HoweME，HughesJS.Commodityconvenienceyieldsasanoptionprofit[J].JournalofFuturesMarkets，1990，10（5）：519-533.
[19]SchwartzE，SmithJE.Shorttermvariationsandlong-termdynamicsincommodityprices[J].ManagementScience，2000，46（7）：893-911.
[20]HinzJ，FehrM.Storagecostsincommodityoptionpricing[J].SiamJournalonFinancialMathematics，2010，1（1）：729-751.
[21]LiuP，TangK.Thestochasticbehaviorofcommoditypriceswithheteroskedasticityintheconvenienceyield[J].JournalofEmpiricalFinance，2011，18（2）：211-224.
[22]DuanJC，PliskaSR.Optionvaluationwithcointegratedassetprices[J].JournalofEconomicDynamicsandControl，2004，28（4）：727-754.
[23]NakajimaK，OhashiK.Commodityspreadoptionwithcointegration[J].AsiaPacificFinancialMarkets，2016，23（1）：1-44.
[24]安??，刘志新.商品期货便利收益的期权定价及实证检验[J].中国管理科学，2006（6）：119-123.
[25]潘坚，刘福来.一类带有储藏费和交易费的商品期权定价模型[J].赣南师范学院学报，2007（6）：28-30.
[26]周洪海，刘福国，徐云.一类商品期权定价[J].新疆师范大学学报（自然科学版），2008（1）：35-39.
[27]吕永琦.商品日便利收益的期权定价及实证分析[J].管理科学，2009，22（4）：107-114.
[28]王苏生，常凯，刘艳，等.碳排放便利收益与期权价值分析[J].系统管理学报，2012，21（4）：552-558.
[29]FanKShenY，SiuTK，etal.Valuingcommodityoptionsandfuturesoptionswithchangingeconomicconditions[J].EconomicModeling，2015（51）：524-533.
[30]刘军岭，屈军.我国商品期货价格收益率及波动率长记忆性研究[J].商业研究，2017（1）：57-68.
（责任编辑：钟瑶）