随机波动模型的贝叶斯估计及其在金融市场中的应用

随机波动模型的贝叶斯估计及其在金融市场中的应用

摘要：文章对随机波动模型的MCMC估计方法进行了比较研究，通过对SV0模型的四种不同的波动率抽样方式下的MCMC结果的比较发现，单步Gibbs抽样时波动率的自相关性非常大，而有限正态混合逼近和FFBS方法能够在一定程度上改变其单步Gibbs抽样的缺点，文章还应用SV0模型和ASV模型分别对外汇市场和证券市场进行研究，研究发现汇率数据不存在明显的杠杆效应，而证券市场具有杠杆效应，但是对于中国的证券市场来说并不是特别明显，和他成强烈对比的是S&P500指数的杠杆效应参数的值达到了0.7以上，这与Ait-Sahalia等（2013）的结果吻合，中国的证券市场的这种现象可能和“羊群效应”有关。
关键词：随机波动；杠杆效应；后向滤波前向抽样；马尔科夫链蒙特卡洛
一、引言
随机波动模型的参数估计在金融计量经济学中十分重要，而SV模型的似然推断严重依赖高维积分，这导致实际中随机波动模型的参数估计面临诸多挑战，本文首先对SV0和ASV的估计方法进行方法比较分析与模拟，然后针对我们获得的国内外金融数据进行实证分析；最后是小结。
二、随机波动模型的贝叶斯MCMC估计
本文的参数估计主要借助于蒙特卡洛模拟方法，该方法通过一定策略产生平稳马尔科夫链，该马氏链的平稳分布是我们所感兴趣的分布，这样就可以利用该马氏链来进行参数推断，该方法通常称为马尔科夫链蒙特卡洛（MarkovchainMonteCarlo，MCMC）方法，MCMC方法被称为20世纪的十大算法之一，给工程与实践科学带来了巨大影响并推动其向前发展。简单来说：假设p（y|？兹）为抽样概率密度函数，？仔（？兹）是先验概率密度，其中y是观测向量，？兹=（？兹1，…，？兹d）是未知参数，则后验概率密度为：
？仔（？兹|y）=■？兹∝p（y|？兹）？仔（？兹）（1）
但是在实际问题中，上述后验密度（1）通常是比较复杂未知的形式。所以，利用直接的分析方法或者数值积分的方法甚至是传统的蒙特卡洛方法来对后验分布进行分析，一般来说是不可行的。然而这些困难可以使用MCMC方法解决。MCMC方法主要是模拟产生一个马氏链：{？兹（0），？兹（1），…，？兹（g），…}.并保证该马氏链的平稳分布就是后验分布（1），那么问题的关键就是如何生成这样的马氏链并保证它能的平稳分布恰好是（1）。构建这样的马氏链的一般方法是Metropolis-Hastings（M-H）方法，M-H方法是其他形式MCMC抽样方法的基础，比如由Geman和Geman（1984）提出来的Gibbs抽样就是一种特殊的M-H抽样方法，MCMC方法被广泛的应用到贝叶斯统计和经济计量领域。
1.对称随机波动模型的MCMC估计。对于对称SV0模型（1），扰动项？缀t和？浊t服从标准正态分布，满足E（？缀t？浊t+h）=0对所有的h，并且对所有的l≠0有E（？缀t？缀t+l）=E（？浊t？浊t+l）=0，其中？滓2是对数波动的波动率，|？准|（2）对于杠杆参数的估计，一个自然直观的方法是基于高频数据的波动率估计，直接计算日收益与日波动之间的相关系数，以此来检验收益和波动的相关性。由于高频数据可视为连续时间模型的良好逼近，高频数据下用非参数方法对非对称的度量已经引起关注，杠杆参数的估计等价于计算收益和波动的相关性主要依赖波动率的定义和计算，Ait-Sahalia等（2013）用这种自然的想法，采用单因子Heston随机波动模型，用非参数的方法估计杠杆参数时发现其接近于零，他们将估计的偏差进行分解得到杠杆参数的估计。Wang和Mykland（2014）考虑金融资产的对数价格过程服连续半鞅过程下的杠杆效应参数的非参数估计方法主要利用资产价格和波动之间的二次协变差作为杠杆效应值的度量，证明了该统计量渐近混合正态。Bandi和Reno（2012）发现了非对称波动的时变性质，将Wang和Mykland（2014）的结果推广到带跳的时变杠杆非对称SV模型，研究结果表明相当比例的资产收益的跳同时伴随着波动的跳（称为同跳，co-jump），且收益的负跳往往伴随着波动的正跳。Bi等（2013）研究了已实现半方差（RSV）及其在测度下方风险中的应用，该工具可为进一步研究精确测度波动的非对称奠定了理论基础。
对模型（1），通常杠杆参数？籽我们很容易可以获得以上四种抽样方法下ht的自相关函数对比图、参数的估计对比图和波动率估计对比图，比较发现单步Gibbs抽样方法下波动率的自相关性非常大，而有限正态混合逼近和FFBS方法能够在一定程度上改变其单步Gibbs抽样的缺点。
从对比图可以看到，参数估计结果都比较接近真值，并且潜在的波动率拟合的也比较好，特别是在波动不大的时间范围内结果非常接近，正态混合逼近和FFBS方法下的参数估计结果达到了单步Gibbs抽样的估计精度，同时能显著提高抽样效率节约了时间花销成本。而对于第三种抽样方式，由于正态近似比较粗糙，导致其参数估计效果没有其他三种的效果好。同时，四种抽样方式下参数？滋，？准的抽样路径显示其混合的较好，自相关函数很快衰减到接近于0，其概率密度估计图也显示呈正态分布，相对来说，从？滓2的抽样路径来看，该链混合的稍微差一些，自相关函数衰减也较慢，其概率密度估计图呈逆伽马分布，其主要原因在于参数？滓2属于深层的参数，对于这样的参数的MCMC估计就偏难一些。
2.非对称随机波动模型ASV模拟分析。根据模型（8）生成数据{yt}1000t=1，其中模型参数设定为？茁=0.01，？滓=0.2，？准=0.98，？籽=-0.7.先验分布的选取如下：？滋～N（0，1），（？准+1）/2～Beta（20，1.5）；？籽～U（-1，1），？滓2～IG（2.5，0.025）.开始的预迭代（Burnin）次数M0=2000，最终使用的推断次数M=20000。
表1为MCMC估计结果，？酌的接受率为76.0%；另外我们可以获得MCMC参数估计图和MCMC估计的波动率与潜在波动率变量exp{ht/2}的对比图。从模拟结果可以看到10个成分的正态混合逼近抽样结果很好，非有效因子Ineff的值非常小，说明生成的马氏链混合的很好、抽样很有效率。从真实波动与估计的波动率对比可以看到该方法有一点不足之处就是对极端波动的扑捉还不充分，也就是对尾部风险的估计欠佳，没有能够完全捕获尖峰厚尾性。
四、随机波动模型在金融市场的实证研究
SV模型在国内外金融市场具有广泛的应用，其中具有代表性的有郑挺国和宋涛（2011）、张欣和崔日明（2013）和吴鑫育等（2014），本节利用上面的随机波动模型进行实证分析研究。在外汇市场，我们研究了多组外汇数据，其中报告了澳元兑美元和欧元兑美元两组结果；在证券市场，我们同样研究了多个证券市场的指数数据，这里给出了S&P500指数、上证综合指数以及中国上市银行指数的拟合结果。
1.汇率市场的实证结果。我们对汇率市场中的两组有代表性的数据进行实证分析：第1组数据是从2000年1月3日～2014年12月29日共3910天的澳元兑美元日收益率数据；第2组数据是从2000年1月3日～2014年12月29日共3910天的欧元兑美元日收益率数据。设定为预迭代3000次，后面迭代30000次作为参数估计，表1和表2分别为两组数据SV0模型的MCMC参数估计结果。
2.证券市场的实证结果。本文选取了3组股指数据进行实证分析。对于国外市场本节选取了被认为是国际上最重要的资本市场的研究了S&P500指数，（下转第120页）然后选取了我国的上证综合指数，也是我国比较成熟和比较具有代表性的数据，最后还选取了我国上市银行的综合指数数据进行研究，这为研究银行系统金融风险提供了一些理论依据，它也属于比较新的行业板块指数：第1组数据：从2010年1月4日～2014年5月8日共1094天的S&P500指数日收益率数据；第2组数据：从2001年1月4日～2015年1月8日共3631天的上证综合指数日收益率数据；第3组数据：从2010年1月4日～2015年1月8日的1215天的我国上市银行综合指数日收益率数据。预迭代2000次，后面迭代20000次作为参数估计。表4～表6分别为3组数据的MCMC估计结果；？酌的接收率分别为：79.6%、89.3%75.3%；另外我们可以获得上证综合指数的MCMC参数自相关函数、路径、概率密度图以及上证综合指数的收益率和对应的波动率估计图，本处略去。
通过实证分析发现证券市场比汇率市场具有更强的杠杆效应，S&P500指数数据的杠杆效应参数的值?_到了0.7以上，这与Sahalia（2013）的结果是吻合的。相对来说，中国的证券市场并不是特别明显，中国的证券市场的这种现象可能和所谓的“羊群效应”有关。
五、小结
本文对SV0和ASV模型的MCMC方法进行了比较分析，本文应用SV0模型和ASV模型分别对外汇市场和证券市场进行研究，我研究发现汇率数据不存在明显的杠杆效应，而证券市场具有杠杆效应，但是对于中国的证券市场来说，并不是特别明显，和他成强烈对比的是S&P500指数的杠杆效应参数的值达到了0.7以上，这与Ait-Sahalia等（2013）的结果一致，中国的证券市场的这种现象可能和所谓的“羊群效应”有关，关于这一点的对比研究值得进一步进行考虑，比如某个证券市场的杠杆参数是否为零的贝叶斯假设检验问题，同时关于高频金融数据的随机波动模型建模问题还亟待进一步研究。
参考文献：
[1]Ait-Sahalia，Y.，Fan，J.Q.，andLi，Y.Y.，Theleverageeffectpuzzle：Disentanglingsourcesofbiasathighfrequency，JournalofFinancialEconomics，2013，（109）：224-249.
[2]Wang，D.，C.，Mykland，PerA.，TheEstimationofLeverageEffectwithHighFrequencyData，JournaloftheAmericanStatisticalAssociation，2014，25（2-3）：361-384.
[3]张波，蒋远营.基于中国股票高频交易数据的随机波动建模与应用[J].统计研究，2017，34（3）：107-117.
[4]吴鑫育，马超群，汪寿阳.随机波动率模型的参数估计及对中国股市的实证[J].系统工程理论与实践，2014，（1）：35-44.
基金项目：国家自然科学基金（项目号：714711730）；教育部人文社科基地重大项目（项目号：14JJD910002）；广西高校科研重点项目（项目号：KY2015ZD054）。
作者简介：蒋远营（1980-），男，汉族，河南省信阳市人，中国人民大学经济学博士，桂林理工大学理学院副教授、副院长，研究方向为金融风险管理与随机波动建模。
收稿日期：2018-04-20。